حرکت شناسی 

فصل 2


مکا نیک

 

مکا نیک : به علمی که راجع به حرکت اجسام بحث میکند مکانیک گویند .

این علم به دو شاخه زیر تقسیم می شود:

 1. حرکت شناسی (سینماتیک) : راجع به علم حرکت اجسام بدون در نظر گرفتن علت است.

 2. دینامیک(قوانین نیوتن و ....) : راجع به علم حرکت اجسام با در نظر گرفتن علت است.

 حرکت شناسی1

مبانی حرکت

حرکت و سکون ونسبی بودن آنها

نکته1 : حرکت و سکون یک امر نسبی هستند . یعنی نسبت به دستگاه خاصی سنجیده می شوند.

 

مثال :

دوشخصی که روی یک نیمکت نششسته اند نسبت به هم ثابت هستند .( از دیدهمدیگر ) ولی از دید شخصی که در کره مریخ قرار دارد این دوشخص دارا ی حرکت می با شند. شکل زیر :

نکته2 :  اجسام را می توان نسبت به ابعاد و فواصلشان ذره فرض نمود.
مثال :

زمین یا خورشید را میتوان نسبت به فا صله بین آنها ذره فرض نمود.( فاصله بین زمین و خورشید برابر است با : 1011*1.5 متر).

بردار جابجایی :

برداری است که مکان اولیه را به مکان نهایی متصل می کند.

 

 

بردار مکان :

برداری است که مبدا مختصات را به مکان نهایی متحرک وصل می کند.

 

 

 

 


 

نکته3 : بردار مکان یک ذره ؛ به مبدا مختصات بستگی دارد ولی بردار جابجایی ؛ به مبدا مختصات بستگی ندارد .

 

مسافت طی شده :

فاصله ای است که یک متحرک طی می کند .

هما نگونه که در شکل مقابل ملا حظه می نمایید ، بالگرد ، ابتدا مسافت 20 متر ، سپس مسافت 50 متر و در انتها مسافت 40 متر را طی می نماید .حال داریم :

مسافت طی شده :

 20+50+40 =110 m

جابجایی بالگرد= طول بردار جابجایی   =78متر

نتیجه :

جابجایی «== مسافت طی شده

 

مثال :

 متحرکی از نفطه A شروع به حرکت می کند تا به نقطه D می رسد . مسافت و جابجایی آن را حساب کنید

مثال :

در شکل روبرو مسافت طی شده و بردار جابجایی متحرک را حساب کنید .

 

نکته4 : مسا فت طی شده یک کمیت نرده ای است . یعنی فـقط مقدار دارد ( جهت ندارد ) ولی بردار جابجایی یک کمیت برداری است .یعنی هم جهت دارد هم بزرگی

 

مسئله 1 :

اتومبیلی یک مسیر دایره ای شکل به شعاع 100 متر را دور می زند .

الف ) مسافتی را که اتومبیل در نیم دور می پیماید چقدر است ؟

ب) بزرگی جابجایی در یک چهارم دور چقدر است ؟ و جهت آن ؟

ت) بزرگی جابجایی در یک دور کامل چقدر است ؟

د) بزرگی جابجایی اتومبیل در نیم دور چقد ر است ؟ و جهت آن ؟ (عدد را 3.14 فرض کنید)

حل الف ):

حل ج ) :

بزرگی جابجایی در یک دور کامل = R=0

حل د) :

بزرگی جابجایی در نیم دور = 100m+100 m =200m

 

نکته5 : هر گاه متحرکی یک مسیری را برود و دو باره به مکان اولیه اش باز گردد ؛ جابجایی آن صفر خواهد شد.

 

مسئله 2 :

متحرکی مطابق شکل از نقطه A حرکت و سپس به نقطه B رسیده و پس از آن به نقطه C می رسد . مطلوبست مسافت و جابجایی آن.

 

سرعت متوسط :

تغییرات جابجایی متحرک نسبت به زمان طی شده را سرعت متوسط گویند.

 

نکته6 : همیشه توجه داشته با شید که سرعت متوسط یک کمیت برداری است و مقدار آن همواره با جهت ΔX معنا پیدا می کند.

 

واحد سرعت در سیستم SI متر بر ثانیه است
نکته7 : برای تبدیل واحد سرعت از متر بر ثانیه به کیلو متر بر ساعت یا بلعکس بتر تیب زیر عمل می کنیم .

 

مثال :

90Km/h چند متر بر ثانیه است ؟

مثال :

10m/s چند کیلومتر بر ساعت است ؟

 

 

 


مثال :

اتو مبیلی مسافت نشان داده شده در شکل زیرکه برابر 40 کیلومتراست را در مدت 30 دقیقه طی می کند.مطلوبست سرعت متو سط این اتو مبیل .

 

حل :

اگرابتدا وانتهای کل مسافتی را که اتومبیل در مدت زمان داده شده طی می کند را توسط برداری همانند شکل فوق به هم متصل نماییم ؛ میزان جابجایی اتومبیل بدست می آید . میزان این جابجایی از نظر مقداری برابر است با طول بردار جابجایی(25Km) . لذا خواهیم داشت :

در جهت نشان داده شده)

 

 

سرعت متوسط از X1 تا X2

سرعت متوسط در کل مسیر v=(x1+x2)/(t1+t2)
مسئله :

اتومبیلی در هنگام رفت فاصله بین دو شهر را که 60 کیلومتر است را در مدت 20 دقیقه طی می کند .همین اتومبیل در هنگام برگشت این مسیر را در مدت 25 دقیقه بر می گردد. مطلوبست :

الف ) سرعت متوسط در حالت رفت .

ب) سر عت متوسط در حالت برگشت

ج ) سرعت متوسط در حالت رفت و برگشت

حل :

کل x=60 Km

رفت t1=20 " =20/60=1/3 h

برگشت t2=25 " =25/60=5/12 h

حل الف)

 

حل ب)

حل ج)

چون متحرک به محل اول برگشته است
مسئله 2 :

متحرکی 3/2 مسیری را با سرعت 10 متر بر ثانیه و بقیه را با سرعت 20 متر بر ثانیه طی می کند.سرعت متوسط متحرک چند متر بر ثانیه و چند کیلومتر بر ساعت است ؟

 

 

ابتدا لا زم است زمان در هر قسمت از مسیر محاسبه شود:

 

 

 

 

 

 

لذا خواهیم داشت :

 

 

 

 

سرعت لحظه ای :

 

سر عتی که متحرک در هر لحظه دارد.این سرعت را با V نشان می دهند .

 

توجه : کیلومتر شمار ماشین سرعت لحظه ای را نمایش می دهد .

 

نمودار سرعت - زمان در حرکت بر روی یک خط راست :

 

چون سرعت متحرک همواره در حرکت روی خط راست ( یکنواخت ) همواره ثابت است ؛ اذا نمودار آن خط راستی موازی با محور زمان خواهد بود (یک خط افقی )

 

نکته9 : در این نوع حرکت ، با گذشت زمان ، سرعت متحرک همواره ثابت است .

 

 

 

 

نکته10 :  در حرکت یکنواخت ( روی یک خط راست ، با سر عت ثابت ) مساحت زیر نمودار سرعت – زمان ، تغییر جابجایی متحرک را مشخص میکند .
مساحت زیر نمودار = v.t   ==>  x=v.t

 

 

 

 

 

نکته11 : شرط رسیدن دو متحرک در یک مسیر مستقیم الخط با یک اختلاف زمانی ، این است که :XA=XB باشد .

 

 

 

 

مثال :

 

معادله حرکت متحرک A : XA=-t +3 و معادله حرکت متحرک B : XB=-2t –6 می باشد .این دو متحرک پس از جند ثانیه به هم می رسند ؟

 

-t+3=2t-6  ==»  -3t=-9  ==»  t=3s             XA=XB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جسم ساکن :

چون جسم ساکن جابجایی ندارد و سرعت آن همواره صفر می باشد ؛ پس :

 

 

 

 

 

 

 

حرکت مستقیم الخط یکنواخت

تعریف : حرکتی است که در آن همواره سرعت متحرک دارای اندازه و جهت ثابت باشد. یعنی :
نکته12 :  در این نوع حرکت سرعت متوسط با سر عت لحظه ای برابر است .

 

 

 

شیب نمودار مکان زمان چنین حرکتی که همان سرعت است ؛ همواره ثابت خواهد بود.

 

 

 

 

 

طریقه محاسبه معادله حرکت یکنواخت :

 

اثبات :

 

داریم :

اگر فرض کنیم که :

آنگاه :

در این معادله :

 X = جابجایی نهایی 

 V = سرعت

 t = زمان 

X0 = جابجایی اولیه

نمودار مکان – زمان متحرک در حرکت یکنواخت:

نکته13 :  اگر متحرکی بطرف Xهای مثبت حرکت کند (صعودی) و شیب آن نیز مثبت باشد ؛ آنگاه سرعت آن مثبت خواهد بود.

 

 

 

مسئله 4 :

معادله متحرکی در سیستم SI عبارتست از : X=(2/3)t-4

مطلوبست :

1. سرعت متحرک چقدر است ؟

2. فاصله مکان اولیه متحرک ا زمبدا چقدر است ؟

3. پس از گذشت زمان 4 ثانیه جابجایی نهایی آن چقدر میباشد؟

جواب :

 

سرعت متحرک وفاصله اولیه ا ز مبدا

جابجایی نهایی

 

مسئله 5 :

متحرک A و B را در نظر بگیرید .

1. نوع حرکت هر متحرک چیست ؟

2. سرعت کدام متحرک بیشتر است ؟

جواب :

هر دو متحرک A و B دار ای حرکت مستقیم الخط یکنواخت هستند.

هر دو متحرک سر عت مثبت دارند .

سر عت هر دو برابر است زیرا شیب هر دو خط برابر است

 

مسئله 6 :

با توجه به نمودار مکان – زمان ؛ معادله حرکت را بنویسید.

 

جواب :

چون نمودار مکان زمان یک خط راست است ؛ پس حرکت مستقیم الخط می باشد . پس با ید در معا دله X=Vt +X0 مقادیر V و X0 را از روی نمودار بدست آورده و وارد کنیم.

 

 

 

نکته14 : برای نوشتن معادله نباید بجای X وt عدد بگذاریم .

 

روش اول :

روش دوم:

 

 
مسئله 7 :

با توجه به نمودار روبرو مطلوبست :

1. مقدار سرعت متحرک

2. معادله متحرک را تعیین کنید.

 

 

 

جواب: 

 

 

 

نمودار سرعت – زمان در حرکت بر روی خط راست

چون سرعت متحرک همواره در حرکت یکنواخت ثابت است ؛ نمودار آن یک خط افقی موازی با محور زمان می باشد.

در این نوع حرکت با گذشت زمان سرعت متحرک همواره یک عدد ثابت است .

نکته15 : در حرکت یکنواخت (روی خط راست با سرعت ثابت ) مساحت زیر نمودار سرعت – زمان مقدار جابجایی متحرک را مشخص می کند.

مساحت زیر نمودار = مقدار جابجایی متحرک S=X=Vt

 

نکته16 : شرط رسیدن دو متحرک A و B به هم در یک مسیر مستقیم با سرعت ثابت با اختلا ف زمانی اینست که :

XA=XB

 


حرکت شتابدار با شتاب ثابت :

شتاب متوسط :

تغییرات سرعت نسبت به زمان را شتاب متوسط گویند .و با  نشان می دهند .

توضیح :

 سرعت متوسط را با را بطه DX/Dt تعریف کردیم. یعنی :  ولی اگر سرعت ثابت نباشد، آنوقت ما شتاب داریم . یعنی : میزان جابجایی در زمانهای مساوی دیگر برابر نیست . 

خب ، ما چه وقت احساس شتاب میکنیم ؟

  1. زمانیکه روی پدال گاز فشار می دهیم.

  2. وقتیکه ترمز می کنیم

  3. وفتیکه حول یک میدان در حال دور زدن هستیم

  4. از سرسر داریم لیز می خوریم

  5. و.......

واحد شتاب متر بر مجذور ثانیه است .m/s2

:داریم a 

:میدانیم که

 

نکتههمیشه بخاطر داشته باشید که سرعت نهایی از سرعت اولیه کم می شود . پس اگر V2-V1 مثبت بود ، پس شما شتاب مثبت داریدو اگرمنفی بود ، شتاب مورد نظر منفی است.

عوامل ایجاد کننده شتاب:

1- تغییر در سرعت

 

 

2- تغییر در جهت حرکت

 

 

حرکت شتابدار ثابت با شتاب تند شونده :

در این نوع حزکت قدر مطلق سرعت متحرک رو به افزایش می باشد :

V2>V1    یا    av>0

در شکل روبرو  سه نمودار : مکان ، سرعت و شتاب نشان داده شده اند. لطفا بطور کامل دقت نمایید.

 

 

حرکت شتابدار ثابت با شتاب کند شونده :

V2<V1    یا    av<0

در شکل روبرو  سه نمودار : مکان ، سرعت و شتاب نشان داده شده اند. لطفا بطور کامل دقت نمایید.

 

 

 

سوال : منظور از اینکه شتاب متحرکی برابر 4  m/s2  است چیست ؟

جواب : یعنی در هر ثانیه 4  m/s   به سرعت متحرک افزوده می شود .

سوال : منظور از اینکه شتاب متحرکی برابر m/s2 4- است چیست ؟

جواب : یعنی در هر ثانیه  4m/s  از سرعت متحرک کاسته می شود .

شتاب یک کمیت برداری است . یعنی هم مقدار  و هم جهت دارد. جهت شتاب هموار در جهت سرعت ذره می باشد .

نکته1؛در حرکت شتابدار ثابت، حهت ویا انداز ه سرعت ویا هر دو می تواند تغییر کند .

شتاب لحظه ای :

شتابی که متحرک در هر لحظه دا رد را شتاب لحظه ای گویند .

در حرکت شتابدار ثابت ،شتاب لحظه ای با شتا ب متوسط برابر است :

شتاب متوسط ā= شتاب لحظه ای a

معا دلات حرکت با شتاب ثابت :

فرمولهایی که در زیر ملاحظه می نمایید ، فرمولهایی هستند که در محاسبات حرکت با شتاب ثابت بکار می روند.

اثبا ت فرمول 1:

   

اثبا ت فرمول 2:

 

 ئ

 

 

اثبات فرمول 3 :

     ئ  

اثبات فرمول 4 :

   è    è  

خلاصه معادلات حرکت شتابدار ثابت :

معادله سرعت:  V=at+v0

   معادله مستقل از شتاب ==>  
 

  معا دله حرکت ==>   

 
 

  معادله مستقل از زمان  ==>    

 
نکته1؛ درجه معادله حرکت جسم در حرکت شتابدا ر ثابت ، نسبت به زمان (2) می باشد.

 


مثال :

معادله متحرکی در سیستم SI : ( x=t2 -3t+4 ) می باشد . مطلوبست :

1.  نوع حرکت

جواب : حرکت از نوع شتابدار ثابت است . چون بیشتر ین درجه زمان از نوع دوم است.

2. شتاب جسم

از مقایسه رابطه :( x=t2-3t+4 ) با رابطه :  در می یابیم که :

(½)a=1 ==> a=2 m/s2

3. سرعت اولیه جسم

از مقایسه رابطه :( x=t2 -3t+4 ) با رابطه :  در می یابیم که :

V0=-3 m/s   x0=4 m

 

مسئله:

معادله سرعت زمان متحرکی در سیستم SI :  v=3t-4 می باشد . مطلوبست :

1– نوع حرکت

جواب : نوع حرکت شتابدار ثابت می باشد .

2- تغییرات جابجایی متحرک پس از 2 ثانیه

= (1/2)(3*22)+(-4)*2=6-8=-2 m

 

3- شتاب حرکت

از مقایسه رابطه :( v=3t-4) با رابطه : V=at+v0 در می یابیم که :

a=3 m/s2

نمودار مکان زمان در حرکت شتابدار ثابت :

چون معادله حرکت شتابدار ثابت از درجه 2 است » لذا نمودار آن یک سهمی می باشد . این حرکت به دو بخش تقسیم می شود :

1. حرکت شتابدار ثابت تند شونده :

سهمی رو به بالا می شود . یعنی تقعر به سمت مثبت محور x ها.

  در سه معادله بالا v0 صفر است زیرا مماس بر منحنی در شروع حرکت موازی محور زمان میشود.

2. حرکت شتابدار ثابت کند شونده :

سهمی رو به پایین می شود . یعنی تقعر یه سمت منفی محور x ها .

نکته شیب نمودار مکان زمان در حرکت شتابدار ثابت برا بر سرعت لحظه ای متحرک می باشد .
شکل بالا : یعنی سرعت لحظه ای برابر tg  زاویه ای است که خط مماس بر منحنی در هر لحظه با جهت مثبت مثلثاتی محور زمان می سازد

 

 

نکته1؛

اگر شیب نمودار در هر لحظه زیاد شود ، حر کت شتابدار ثابت تند شونده می باشد

 اگر شیب نمودار در هر لحظه کم شود ، حرکت شتابدار ثابت کند شونده می شود 

 

    

 

نکته1؛وقتی که خط مماس بر منحنی مکان - زمان در حرکت شتابدار ثابت موازی با محور زمان باشد ، سرعت اولیه آن صفر می شود
 
مسئله :

    نمودار مکان  زمان متحرکی که از حال سکون با شتاب ثابت به حرکت در می آید  مطابق شکل زیر می باشد :

 سرعت این متحرک را در لحظه t=5 s  بدست آورید :

=        0.5*a*52+0*5+2=7

a=0.4m/s2===>v=at+v0=0.4*5=2m/s                         

 
مسئله :

 با توجه به نمودار زیر تغییر مکان متحرک در زمان (7.5 - 0) ثانیه و سرعت آنرا در لحظه 3 ثانیه بدست آورید .  توجه حرکت یکنواخت است .

 

 

   

 

 

 

 


مسئله :

معادله حرکت را در نمودار های زیر بنویسید .

 
     
 مسئله :

نمودار حرکت : x=t2+2t  را رسم کرده و نوع حرکت و معادله سرعت را بنویسید.

نوع حرکت : شتابدار ثابت تند شونده

x=t2+2t

 

 

 

 =t2+2t+0 ==> (1/2)a=1 a=2m/s2   , V0=2 m/s   x0=0

 

V=at+v=2t+2

معادله سرعت زمان حرکت شتابدار ثابت تند شونده :

 طبق   معادله سرعت زمان  می شود :v=at+v0  و نمودار آن یک خط راست است. چون نسبت به زمان از درجه یک می باشد .

نکته :چون حرکت تند شونده است ، پس شیب نمودار همواره مثبت می باشد و یک عدد ثابت است .

 

 
نکته :در حرکت شتابدار ثابت ، شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان، شتاب متحرک را نشان می دهد .

ā=a

ā= شتاب متوسط

a= شتاب لحظه ای

   

 


مسئله :

اندازه جابجایی متحرک را در شکلهای زیر پیدا کنید .

   

مساحت مثلث  = نصف قاعده در ارتفاع = (5*10)/2=25 m    

  X= مساحت مستطیل   = طول*عرض = 12*3= 36 m

نمودار شتاب - زمان در حرکت شتابدار ثابت تند شونده :

مقدار شتاب همواره مثبت بوده و نمودار آن یک خط افقی موازی با محور زمان می شود .

 

 

 

 

 

نمودار مکان - زمان در حرکت شتابدار ثابت کند شونده :

     مشخصات حرکت شتابدار ثابت کند شونده :

 

1.      سهمی در نمودار مکان - زمان رو به پایین است .

2.       شیب مماس بر سهمی در نمودا ر مکان - زمان لحظه به لحظه کم می شود » تا اندازه آن به صفر برسد

 3.        سرعت اوله هیج گاه  صفر نمی شود .

 

 

در حرکت شتابدار  ثابت کند شونده  سرعت لحظه به لحظه کاهش می یابد .

  ثانویهV2 >  V1 اولیه
   
  D V=V2 - V<0

 


نمودار سرعت -  زمان در حرکت شتابدار ثابت کند شونده:

نمودار سرعت -  زمان در حرکت شتابدار ثابت کند شونده یک خط راست است که مقدار سرعت در آن لحظه به لحظه کم می شود .      

نکته :شیب زاویه منفرجه شده است، پس شتاب منفی می شود .

 نمودار  شتاب - زمان حرکت شتابدا ر ثابت کند شونده :

 شتاب همواره منفی بوده و یک عدد ثابت است .

 

 

 

 

 

 

نکته :  اگر نمودار سرعت زمان متحرکی منحنی باشد ، حرکت شتابدار متغییر خواهد بود .
 

متغییر کند شونده

 شتابدار متغییر تند شونده

 

 

 

خط مماس بر این منحنی شتاب لحظه ای را نشان می دهد .

سوال:

با توجه به نمودار فوق،  شتاب جسم در کدام لحظه بیشتر است ؟ چرا ؟

جواب : شتاب در لحظه t1 بیشتر است،  زیرا شیب خط مماس در لحظه t1  بیشتر است .

نکته :
درحرکت شتابدار متغییر معادله x-t از درجه 3 یا بالاتر است .
درحرکت شتابدار متغییر معادله V-t از درجه 2 یا بالاتر است
درحرکت شتابدار متغییر معادله a-t از درجه 1 یا بالاتر است.

 

 

مثال :

X=t3 +4t+2 <<  حرکت شتابدار متغییر

V=5t2+3 <<  حرکت شتابدار متغییر

a=2t << حرکت شتابدار متغییر


خلاصه نمودار ها :

 

(1) جسم ساکن :

 

 

(2) جسم دارای حرکت مستقیم الخط یکنواخت

 

(3) جسم دارای حرکت شتابدار تند شونده

 

(4) جسم دارای حرکت کند شونده

 

 

 

نکات:

1. شیب مماس بر نمودار مکان - زمان در حرکت یکنواخت برابر است با سرعت متوسط یا سرعت لحظه ای .

2. شیب مماس بر نمودار مکان - زمان در حرکت شتابدار ثابت برابر با سرعت لحظه ای است . (مسئله 2)

3. شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان در حرکت یکنواخت برابر صفر است ، پس شتاب آن صفر است .

4. شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان در حرکت شتابدار ثابت برابر شتاب متوسط یا شتاب لحظه ای متحرک است .

5. شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان در حرکت شتابدار متغییر برابر با شتاب لحظه ای است .

6 . حرکت یکنواخت  Ü  (متوسط) V = (لخظه ای)V

7. حرکت شتابدار ثابت  Ü (متوسط) a = (لخظه ای)a

 

مسئله1 :

در نمودار مقابل : الف ) : نوع حرکت        ب) : معادله حر کت         را بنویسید .

الف) حرکت  شتابدار ثابت تند شونده

ب)

   =(1/2)a*25+0*5+2=7 Þ  a=0.4 m/s2

   Þ   x=0.2t2+2

مسئله 2:

معادله حرکت نمودار مقابل را بنویسید .

ابتدا معادله عمومی حرکت را می نویسم . یعنی :

در این معادله برای نقطه (10و2) پارامترهای V0 و a مجهول هستند . با توجه به نکته 2 ، پارا متر V0 بدست می آید.یعنی :

V0=tan 45 =1

حال با جایگذاری در معادله عمومی ، پارا متر a بدست می آید . یعنی:

Þ  10=0.5*a*22+1*2+0 Þ  a=4 m/s2

حال خواهیم داشت :

= (1/2)4t2+1*t+0  Þ   x=2t2+t

 

 

محاسبه  شتاب با استفاده از نمودار سرعت - زمان

در این بخش یاد میگیریم که چگونه می توان با استفاده از نمودار سرعت - زمان یک متحرک ، نوع حرکت و شتاب آنرا بدست آورد . برای این منظور به مثال زیر توجه نمایی

 


مسئله3:

نمودار  تغییرات سرعت - زمان متحرکی مطابق شکل روبرو است . مطلوبست :

  1. نوع حرکت در AB و معادله مکان متحرک ، هرگاه در لحظه t=0 ، متحرک در 4+ متری مبدا باشد .

  2. نوع حرکت در BC و اندازه جابجایی متحرک در این مدت

  3. شتاب حرکت در ثانیه آخر

  4. جابجایی متحرک در طول مسیر با استفاده از نمودار.

 

 

 

جواب 1 :

    نوع حرکت از  به B شتابدار منظم تند شونده است ، زیرا سرعت روبه افزایش است و مقدار شتاب حرکت برابر است با :

 

معادله مکان متحرک عبارتست از :

=2.5t2 + 5t +4

جواب 2 :

نوع حرکت از تا C یکنواخت است . زیرا سرعت ثابت است و اندازه جابجایی از رابطه :XBC=vt محاسبه می شود .

X=15*(6-2)=60 m

جواب 3:

شتاب حرکت از C تا D برابر است با :

علامت منها ، حاکی از آنست که حرکت : شتابدار منظم کند شونده است .

جواب 4 :

سطح نمودار سرعت - زمان  معرف جابجایی متحرک است .

Sکل=SABHO+ SBCDH

حرکت سقوطی:                                                

سقوط آزاد:

 هر گاه جسمی از یک ارتفاعی نسبت به سطح زمین سقوط کند اگر از مقاومت هوا صرفنظر شود ، با یک شتاب ثابت 9.8 متر بر مجذور ثانیه به سمت زمین کشیده می شود ؛ یعنی در هر یک ثانیه 9.8 متر بر مجذور ثانیه  به شتاب حرکت جسم افزوده می شود ؛ یعنی حرکت جسم در سقوط آزاد به سمت زمین شتابدار ثابت تند شونده است و تنها نیروی وارد بر جسم همان نیروی وزن جسم است.

در سقوط آزاد، شتاب همه اجسام یکسان فرض شده است یعنی (9.8 متر بر مجذور ثانیه  ) شتاب ثابت است ؛ البته فقط در سقوط آزاد . (از مقاومت هوا صرفنظر شده است).

نکته8: در سقوط آزاد حرکت را در امتداد محور قائم در نظر می گیریم.

  قرارداد:

(1) نقطه پرتاب را ، مبدا سنجش فرض می کنیم.

(2) فاصله های بالای مبدا را مثبت و پایین مبدا را منفی می گیریم.

(3) سرعت رو به بالا مثبت و روبه پایین مبدا منفی در نظر می گیریم.

(4) علامت شتاب را همواره منفی می گذاریم

 


معادلات حرکت سقوطی ‌آزاد:

به علامت g  توجه کنید:

 

 

 

 نکته9: اگر جسم رها شود V0=0 می باشد ولی اگر پرتاب شود  می باشد.

 

نمودارهای سقوط آزاد:

نمودار مکان ـ زمان

نمودار مکان ـ زمان یک سهمی است.

نمودار C:

جسم به سمت بالا پرتاپ می شود

نمودار B:

جسم به سمت پایین پرتاپ می شود

نمودار A:

 جسم به سمت پایین رها می شود 0=V0

در این نمودار فرض کرده ایم که جسم از  مبدا و با سرعت اولیه V0رو به بالا پرتاب می شود در این نمودار فرض کرده ایم که جسم از  مبدا و با سرعت اولیه V0رو به پایین رها می شود. در این نمودار فرض کرده ایم که جسم از ارتفاع y0 نسبت به مبدا رها می شود.

نمودار سرعت زمان

نمودار C:

 جسم به سمت بالا پرتاپ می شود

 V=-gt + V0

نمودار B:

جسم به سمت پایین پرتاپ می شود.

 V=-gt –V0

نمودار A:

 جسم به سمت پایین رها می شود.   V=-gt

 

نمودار شتاب زمان

در هر سه حالت C,B,A نمودارش یک خط می شود.

 

 

 

 

 

 

نکات کلی حرکت:
نکته10:

 مسافتی که متحرک در ثانیه t ام می پیماید ، برابر است با :

نکته11 :

 مطابق نکته قبل ، متحرکی که t ثانیه را با شتاب a حرکت کند. مسافت طی شده در n ثانیه آخر حرکت آن برابر است با :

نکته 12:

مسافت طی شده در tثانیه nام حرکت برابر است با :

مثال : متحرکی ، حرکت مستقیم با شتاب ثابت 2 متر بر مجذور ثانیه دارد . اگر سرعت اولیه آن 5 متر بر ثانیه باشد ، مسافت طی شده در 3 ثانیه دهم را حساب کنید .

نکته13 :

 اگر متحرکی از حالت سکون با شتاب ثابت به حرکت در آمده باشد ، مسافت طی شده آن در ثانیه t ام حرکت برابر است با :

Xt=(2t-1)X1

X مسافت طی شده در ثانیه اول می باشد.

نکته : مسافت طی شده در بازده زمانی Dt=t2-t1 برابر است با :

مثال : متحرکی با شتاب ثابت 3متر بر مجذور ثانیه به طور مستقیم حرکت می کند . اگر سرعت اولیه آن ا متر بر ثانیه در مبدا زمان باشد ، جابجایی متحرک را بین دو زمان 2 ثانیه و 7 ثانیه حساب کنید .

Dt=(1/2)3(72 -22 )+(7-2)*1=72.5 m

نکته 14:

سرعت متوسط در بازده زمانی Dt=t2-t1  برابر است با :

نکته 15:

 در حرکت مستقیم با شتاب ثابت ، تفاضل دو سرعت متوالی یا دو جابجایی متوالی برابر شتاب می باشد :

X2-X1=a       و         V2-V1=a

نکته 16:

اگر جسمی سقوط کرده و پس از t ثانیه به زمین برخورد کند ، زمانیکه جسم در   ابتدای مسیر طی می کند برابر است با :

نکته 17:

 هنگام سقوط آزاد ، زمان سقوط 4/1 کل ابتدای مسیر برابر با زمان سقوط بقیه مسیر است


مسئله4 :

از بالای برجی به ارتفاع 80 متر پرتابه ای را با سرعت 30 متر بر ثانیه در امتدا قائم به طرف بالا پر تاب می کنیم . ( فرض g=10 m/s2)

  1. زمان اوج و حد اکثر ارتفاع از سطح زمین را حساب کنید .

  2. پس از چه مدت پرتابه به زمین می رسد و سرعت آن در لحظه برخورد با زمین چقدر است ؟

  3. در جه لحظه هایی سرعت پرتابه به 10 متر بر ثانیه می رسد ؟

  4. زمان اوج و سرعت در لحظه های t1و t2 را با استفاده از رابطه های بدست آمده بررسی نمایید.

  5. نمودار های مکان- زمان و سرعت- زمان و شتاب - زمان را رسم نمایید .

جواب 1 :

زمان اوج برابر است با :

t= v0/g = 30/10=3 s

و ارتفاع اوج برابر است :

حد اکثر ارتفاع تا سطح زمین برابر است با :

H=80+45=125 m

جواب 2 : زمانی که طول می کشد تا پرتابه به سطح زمین برسد ، عبارتست از :

 ==> y= -5t2 +30t+80

با قرار دادن y=0 ، زمان کل رفت و برگشت برابر 8 ثانیه محاسبه می شود.

 -5t2 +30t+80=0 ==> t2 -6t-16=0 ==> t=8  , t=-2

که t=-2 مورد قبول نمی باشد .

سرعت در لحظه برخورد با زمین برابر است با :

v=-gt+v0 ==> v=-10*8+30=-50m/s

علامت منها گویای آنست که جهت سرعت در خلاف جهت محور y است.

جواب 3 : برای محاسبه زمانهای t1و t2 ازرابطه v=-gt+v0 استفاده می کنیم.

+10=-10t1 +30 ==> t1=2s  به هنگام بالا رفتن

-10=-10t2 +30 ==> t2=4s  به هنگام پایین آمدن

ارتفاع پرتابه در این لحظه ها تا نقطه پرتاب از رابطه h=(1/2)gt1t2 محاسبه می شود . زیرا :

با حل معادله درجه دوم :  دو مقدار برای t بدست می آید : t1 و t2  . از ریاضیات داریم که : حاصل ضرب ریشه ها ، یعنی:   است و حاصل جمع ریشه ها :  در نتیجه داریم :

h=(1/2)10*2*4=40m

جواب 4 :

 برای بررسی زمان اوج داریم :

که زمان اوج را در فرض 1 برابر همین مفدار بدست آوردیم .

سرعت اولیه برابرا ست با :

که در صورت مثال همین عدد در نظر گرفته شده است .

سرعت پرتابه در لحظه های t1و t2  برابر است با :

که در صورت مثال سرعت در این لحظه ها 10 متر بر ثانیه در نظر گرفته شده است .

جواب 5 :

نمودار های مکان-زمان ، سرعت- زمان ، و شتاب - زمان بترتیب مطابق اشکال زیر می باشند :

نمودار  مکان-زمان

نمودار  سرعت- زمان

نمودار   شتاب - زمان

 


مکا نیک : به علمی که راجع به حرکت اجسام بحث میکند مکانیک گویند .

این علم به دو شاخه زیر تقسیم می شود:

 1. حرکت شناسی (سینماتیک) : راجع به علم حرکت اجسام بدون در نظر گرفتن علت است.

 2. دینامیک(قوانین نیوتن و ....) : راجع به علم حرکت اجسام با در نظر گرفتن علت است.

معادله حرکت

هنگامی که جسم برروی محور x حرمت می کند ، بردار مکان تغییر می کند. برای تعیین موقعیت یا محل جسم در هر لحظه کافی است که x را بصورت تابعی از زمان داشته باشیم . یعنی :

x=f(t)

این رابطه معادله حرکت جسم نایده می شود .

مثال :

معادله جسمی در SI بصورت x=2t2-1 است . موقعیت جسم را در زمان t=5 s تعیین کنید .

جواب :

x=2(5)2-1 = 49 m

تمرین 1-1کتاب درسی

معادله حرکت جسمی در یک بعد با رابطه X=-t2 +6t-8 (SI) داده شده است .
الف ) نمودار مکان- زمان آنرا رسم کنید .
ب) بر دار مکان جسم را در زمانهای 
t= 0 , 1 ,3 (s)  روی محور X نمایش دهید .

جواب :
الف) برای رسم نمودار مکان - زمان متحرک ، آنگونه که در ریاضیات آموخته اید ، مقادیر اختیاری به 
t می دهیم ، تا X های متناظر با آنها حاصل شوند . در این حالت نقاطی با مشخصات (x1 ,t1و(x2,t2و .... بدست می آیند . از وصل این نقاط به هم نمودار مکان - زمان متحرک حاصل می شود.

X=-t2 +6t-8

4 3 2 1 0 t
0 1+ 0 3- 8- x

ب)

x0=-8
x1=-3
x3=+1

 

 

 

سرعت متوسط :

تغییرات جابجایی متحرک نسبت به زمان طی شده را سرعت متوسط گویند.

 

نکته1 : همیشه توجه داشته با شید که سرعت متوسط یک کمیت برداری است و مقدار آن همواره با جهت ΔX معنا پیدا می کند.

 

واحد سرعت در سیستم SI متر بر ثانیه است
نکته2 : برای تبدیل واحد سرعت از متر بر ثانیه به کیلو متر بر ساعت یا بلعکس بتر تیب زیر عمل می کنیم .

 

مثال :

90Km/h چند متر بر ثانیه است ؟

مثال :

10m/s چند کیلومتر بر ساعت است ؟

 

مثال :

اتو مبیلی مسافت نشان داده شده در شکل زیرکه برابر 40 کیلومتراست را در مدت 30 دقیقه طی می کند.مطلوبست سرعت متو سط این اتو مبیل .

 

حل :

اگرابتدا وانتهای کل مسافتی را که اتومبیل در مدت زمان داده شده طی می کند را توسط برداری همانند شکل فوق به هم متصل نماییم ؛ میزان جابجایی اتومبیل بدست می آید . میزان این جابجایی از نظر مقداری برابر است با طول بردار جابجایی(25Km) . لذا خواهیم داشت :

در جهت نشان داده شده)

 

 

سوال :

ممکن است این سوال پیش بیاید که پس سرعت متوسط در طول مسیر چقدر است ؟

جواب :

از آنجاییکه جهت حرکت اتو مبیل در هر لحظه تغییر می کند ؛ لذا امکان این که سر عت متوسطی را بتوان برای آن تعیین نمود؛ نمی باشد.

نکته3 : : تنها زمانی می توان سرعت متوسط در طول مسیر را برای یک متحرک تعریف نمود که مسیر حرکت متحرک یک خط راست باشد.در این حالت می توان از رابطه زیربرای سرعت متوسط استفاده نمود.

 

سرعت متوسط از X1 تا X2

سرعت متوسط در کل مسیر

مسئله :

اتومبیلی در هنگام رفت فاصله بین دو شهر را که 60 کیلومتر است را در مدت 20 دقیقه طی می کند .همین اتومبیل در هنگام برگشت این مسیر را در مدت 25 دقیقه بر می گردد. مطلوبست :

الف ) سرعت متوسط در حالت رفت .

ب) سر عت متوسط در حالت برگشت

ج ) سرعت متوسط در حالت رفت و برگشت

حل :

کل x=60 Km

رفت t1=20 " =20/60=1/3 h

برگشت t2=25 " =25/60=5/12 h

حل الف)

 

حل ب)

حل ج)

چون متحرک به محل اول برگشته است
مسئله 2 :

متحرکی 3/2 مسیری را با سرعت 10 متر بر ثانیه و بقیه را با سرعت 20 متر بر ثانیه طی می کند.سرعت متوسط متحرک چند متر بر ثانیه و چند کیلومتر بر ساعت است ؟

 

 

ابتدا لا زم است زمان در هر قسمت از مسیر محاسبه شود:

 

 

 

 

 

 

لذا خواهیم داشت :

 

 

 

 

 

سرعت لحظه ای :

سر عتی که متحرک در هر لحظه دارد یا حد سرعت متوسط را نیز می توانیم به عنوان سرعت لحظه ای تعریف کنیم .این سرعت را با V نشان می دهند .

توجه : کیلومتر شمار ماشین سرعت لحظه ای را نمایش می دهد .

نکته4 :  سرعت لحظه ای مشتق جابجایی نسبت به زمان است


نمودار سرعت - زمان در حرکت بر روی یک خط راست :

چون سرعت متحرک همواره در حرکت روی خط راست ( یکنواخت ) همواره ثابت است ؛ اذا نمودار آن خط راستی موازی با محور زمان خواهد بود (یک خط افقی )

نکته5 :  در حرکت یکنواخت ( روی یک خط راست ، با سر عت ثابت ) مساحت زیر نمودار سرعت – زمان ، تغییر جابجایی متحرک را مشخص میکند .                                                                                        مساحت زیر نمودار = v.t   ==>  x=v.t

 

 

 

حرکت مستقیم الخط یکنواخت 

در این معادله : X = جابجایی نهایی                 V = سرعت             t = زمان                 X0 = جابجایی اولیه               است.

توجه :درجه معادله فوق نسبت به زمان یک است.

 تعریف : حرکتی است که در آن همواره سرعت متحرک دارای اندازه و جهت ثابت باشد. یعنی :

نکته6 :  در این نوع حرکت سرعت متوسط با سر عت لحظه ای برابر است .

 

 

 

شیب نمودار مکان زمان چنین حرکتی که همان سرعت است ؛ همواره ثابت خواهد بود.

 

 

 

 

 

 

 

 نمودارهای مکان- زمان ، سرعت زمان ، شتاب زمان در حرکت یکنواخت

نمودار مکان – زمان متحرک در حرکت یکنواخت:

نکته7 :  اگر متحرکی بطرف Xهای مثبت حرکت کند (صعودی) و شیب آن نیز مثبت باشد ؛ آنگاه سرعت آن مثبت خواهد بود.

 

 

 

 

 

مسئله 4 :

معادله متحرکی در سیستم SI عبارتست از : X=(2/3)t-4

مطلوبست :

1. سرعت متحرک چقدر است ؟

2. فاصله مکان اولیه متحرک ا زمبدا چقدر است ؟

3. پس از گذشت زمان 4 ثانیه جابجایی نهایی آن چقدر میباشد؟

جواب :

 

سرعت متحرک وفاصله اولیه ا ز مبدا

جابجایی نهایی

مسئله 5 :

متحرک A و B را در نظر بگیرید .

1. نوع حرکت هر متحرک چیست ؟

2. سرعت کدام متحرک بیشتر است ؟

جواب :

هر دو متحرک A و B دار ای حرکت مستقیم الخط یکنواخت هستند.

هر دو متحرک سر عت مثبت دارند .

سر عت هر دو برابر است زیرا شیب هر دو خط برابر است .

مسئله 7 :

با توجه به نمودار روبرو مطلوبست :

1. مقدار سرعت متحرک

2. معادله متحرک را تعیین کنید.

 

 

 

جواب:

 

 

 

 

پاسخ به سوال شما

سوال:1/3 ثانیه طول میکشد تا سرعت توپی که از پایین یک سطح شیب دار به بالا پرتاب شده است از 135cm/s به 65cm/s برسد روی همین مسیر چقدر طول میکشد تا توپی که با سرعت 85cm/s به بالا پرتاب شده به صفر برسد؟
چیت ساز

جواب :

v=at+v0  (1)

0.65=a(1/3)+1.35

0.65-1.35=a/3 ==> a=-2.1 m/s2

v=at+v0  (2)

0=-2.1t+0.85

2.1t=0.85 ==> t=0.85/2.1=0.4 s

 

حالت ثانویه

حالت اولیه

v0=85/100=0.85 m/s

vf=0

t=?

v0=135/100=1.35 m/s

vf=65/100=0.65 m/s

t=1/3 s=0.33s

توضیح:

چون شیب سطح شیب دار برای هر دو حالت ثابت است ؛ لذا شتاب حرکت در هر دو حالت یکی در نظر گرفته می شود.

از اصطحکاک صرف نظر شده است

حرکت شتابدار با شتاب ثابت :

شتاب متوسط :

تغییرات سرعت نسبت به زمان را شتاب متوسط گویند .و با  نشان می دهند .

توضیح :

 سرعت متوسط را با را بطه D X/Dt تعریف کردیم. یعنی :

 

 ولی اگر سرعت ثابت نباشد، آنوقت ما شتاب داریم . یعنی : میزان جابجایی در زمانهای مساوی دیگر برابر نیست .

 

خب ، ما چه وقت احساس شتاب میکنیم ؟

  1. زمانیکه روی پدال گاز فشار می دهیم.

  2. وقتیکه ترمز می کنیم

  3. وفتیکه حول یک میدان در حال دور زدن هستیم

  4. از سرسر داریم لیز می خوریم

  5. و.......

واحد شتاب متر بر مجذور ثانیه است .m/s2

 

:لذا داریم 

:میدانیم که

 

نکته8؛همیشه بخاطر داشته باشید که سرعت نهایی از سرعت اولیه کم می شود . پس اگر V2-V1 مثبت بود ، پس شما شتاب مثبت داریدو اگرمنفی بود ، شتاب مورد نظر منفی است.

عوامل ایجاد کننده شتاب:

1- تغییر در سرعت                  

 

2- تغییر در جهت حرکت           

حرکت شتابدار ثابت با شتاب تند شونده :

در این نوع حزکت قدر مطلق سرعت متحرک رو به افزایش می باشد :

V2>V1    یا    av>0

در شکل روبرو  سه نمودار : مکان ، سرعت و شتاب نشان داده شده اند. لطفا بطور کامل دقت نمایید.

 

 

حرکت شتابدار ثابت با شتاب کند شونده :

V2<V1    یا    av<0

در شکل روبرو  سه نمودار : مکان ، سرعت و شتاب نشان داده شده اند. لطفا بطور کامل دقت نمایید.

 

 

سوال : منظور از اینکه شتاب متحرکی برابر 4  m/s2  است چیست ؟

 

جواب : یعنی در هر ثانیه 4 m/s   به سرعت متحرک افزوده می شود .

 

سوال : منظور از اینکه شتاب متحرکی برابر m/s2 4- است چیست ؟

 

جواب : یعنی در هر ثانیه  4m/s  از سرعت متحرک کاسته می شود .

 

شتاب یک کمیت برداری است . یعنی هم مقدار  و هم جهت دارد. جهت شتاب هموار در جهت سرعت ذره می باشد .

 

نکته9؛در حرکت شتابدار ثابت، حهت ویا انداز ه سرعت ویا هر دو می تواند تغییر کند .

 

شتاب لحظه ای :

 

 

 

شتابی که متحرک در هر لحظه دا رد یا حد شتاب متوسط ، را شتاب لحظه ای گویند .

 

نکته10 : شتاب لحظه ای با دو بار مشتق گرفتن از معادله حرکت بدست می آید .

 

در حرکت شتابدار ثابت ،شتاب لحظه ای با شتا ب متوسط برابر است :

 

شتاب متوسط ā= شتاب لحظه ای a

 

معا دلات حرکت با شتاب ثابت :

 

فرمولهایی که در زیر ملاحظه می نمایید ، فرمولهایی هستند که در محاسبات حرکت با شتاب ثابت بکار می روند.

 

اثبا ت فرمول 1:

 

   

 

اثبا ت فرمول 2:

 

 

 

 

 

 

اثبات فرمول 3 :

 

       

 

اثبات فرمول 4 :

 

         

 

خلاصه معادلات حرکت شتابدار ثابت :

 

معادله سرعت:                    V=at+v0

 

   معادله مستقل از شتاب ==>  

 

 

  معا دله حرکت ==>   

 

 

 

  معادله مستقل از زمان  ==>    

 

 

نکته11؛ درجه معادله حرکت جسم در حرکت شتابدا ر ثابت ، نسبت به زمان (2) می باشد

 


مثال :

معادله متحرکی در سیستم SI : ( x=t2 -3t+4 ) می باشد . مطلوبست :

1.  نوع حرکت

جواب : حرکت از نوع شتابدار ثابت است . چون بیشتر ین درجه زمان از نوع دوم است.

2. شتاب جسم

از مقایسه رابطه :( x=t2-3t+4 ) با رابطه :  در می یابیم که :

(½)a=1 ==> a=2 m/s2

3. سرعت اولیه جسم

از مقایسه رابطه :( x=t2 -3t+4 ) با رابطه :  در می یابیم که :

V0=-3 m/s   x0=4 m

 

مسئله:

معادله سرعت زمان متحرکی در سیستم SI :  v=3t-4 می باشد . مطلوبست :

1– نوع حرکت

جواب : نوع حرکت شتابدار ثابت می باشد .

2- تغییرات جابجایی متحرک پس از 2 ثانیه

= (1/2)(3*22)+(-4)*2=6-8=-2 m

 

3- شتاب حرکت

از مقایسه رابطه :( v=3t-4) با رابطه : V=at+v0 در می یابیم که :

a=3 m/s2

نمودار های مکان-زمان ، سرعت - زمان ، شتاب - زمان در حرکت شتابدار ثابت تندشونده و کند شونده

نمودار مکان زمان در حرکت شتابدار ثابت :

چون معادله حرکت شتابدار ثابت از درجه 2 است » لذا نمودار آن یک سهمی می باشد . این حرکت به دو بخش تقسیم می شود :

1. حرکت شتابدار ثابت تند شونده :

سهمی رو به بالا می شود . یعنی تقعر به سمت مثبت محور x ها.

2. حرکت شتابدار ثابت کند شونده :

سهمی رو به پایین می شود . یعنی تقعر یه سمت منفی محور x ها .

نکته12؛ شیب نمودار مکان زمان در حرکت شتابدار ثابت برا بر سرعت لحظه ای متحرک می باشد . 
شکل بالا : یعنی سرعت لحظه ای برابر tg  زاویه ای است که خط مماس بر منحنی در هر لحظه با جهت مثبت مثلثاتی محور زمان می سازد .

 

 

نکته13؛اگر شیب نمودار در هر لحظه زیاد شود ، حر کت شتابدار ثابت تند شونده می باشد.
 اگر شیب نمودار در هر لحظه کم شود ، حرکت شتابدار ثابت کند شونده می شود


 

نکته14؛وقتی که خط مماس بر منحنی مکان - زمان در حرکت شتابدار ثابت موازی با محور زمان باشد ، سرعت اولیه آن صفر می شود
 
مسئله :

    نمودار مکان  زمان متحرکی که از حال سکون با شتاب ثابت به حرکت در می آید  مطابق شکل زیر می باشد :

 سرعت این متحرک را در لحظه t=5 s  بدست آورید :

=0.5*a*52+0*5+2  
مسئله :

معادله حرکت را در نمودار های زیر بنویسید .

 
     
 مسئله :

نمودار حرکت : x=t2+2t  را رسم کرده و نوع حرکت و معادله سرعت را بنویسید.

نوع حرکت : شتابدار ثابت تند شونده

x=t2+2t

 

 

 =t2+2t+0 è (1/2)a=1 a=2m/s2   , V0=2 m/s   x0=0

 

V=at+v=2t+2

معادله سرعت زمان حرکت شتابدار ثابت تند شونده ، طبق   معادله سرعت زمان  می شود :v=at+v0  و نمودار آن یک خط راست است. چون نسبت به زمان از درجه یک می باشد .

نکته15 :چون حرکت تند شونده است ، پس شیب نمودار همواره مثبت می باشد و یک عدد ثابت است .

 

 
نکته16:در حرکت شتابدار ثابت ، شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان، شتاب متحرک را نشان می دهد

ā=a

ā= شتاب متوسط                    a= شتاب لحظه ای

   

                 

نکته17:  اگر شتاب مثبت باشد ، شیب زاویه حاده می شود. اگر شتاب منفی باشد ، شیب زاویه منفرجه می شود .
نکته 18:  سطح  زیر نمودار  سرعت - زمان در حرکت شتابدار ثابت اندازه جابجایی را نشان می دهد .
 
مسئله :

اندازه جابجایی متحرک را در شکلهای زیر پیدا کنید .

         

 

       مساحت مثلث  = نصف قاعده در ارتفاع = (5*10)/2=25 m    

  X= مساحت مستطیل   = طول*عرض = 12*3= 36 m

نمودار شتاب - زمان در حرکت شتابدار ثابت تند شونده :

مقدار شتاب همواره مثبت بوده و نمودار آن یک خط افقی موازی با محور زمان می شود .

 

 

 

 

 

نمودار شتاب - زمان در حرکت شتابدار ثابت کند شونده :

     مشخصات حرکت شتابدار ثابت کند شونده :

 

1.      سهمی در نمودار مکان - زمان رو به پایین است .

2.       شیب مماس بر سهمی در نمودا ر مکان - زمان لحظه به لحظه کم می شود » تا اندازه آن به صفر برسد

 3.        سرعت اوله هیج گاه  صفر نمی شود .

 

 

در حرکت شتابدار  ثابت کند شونده  سرعت لحظه به لحظه کاهش می یابد .

ثانویهV2 <  V1 اولیه

                                

D V=V2 - V<0  

 

نمودار سرعت -  زمان در حرکت شتابدار ثابت کند شونده :

نمودار سرعت -  زمان در حرکت شتابدار ثابت کند شونده یک خط راست است که مقدار سرعت در آن لحظه به لحظه کم می شود .      

نکته19 :شیب زاویه منفرجه شده است، پس شتاب منفی می شود .

 

 

 

 

 

 

 

 

نمودار  شتاب - زمان حرکت شتابدا ر ثابت کند شونده :

 شتاب همواره منفی بوده و یک عدد ثابت است .

 

 

 

 

نکته 20:  اگر نمودار سرعت زمان متحرکی منحنی باشد ،حرکت شتابدار متغییر خواهد بود .
 

                          متغییر کند شونده              

              شتابدار متغییر تند شونده                   

 

 

 

خط مماس بر این منحنی شتاب لحظه ای را نشان می دهد .

سوال :

با توجه به نمودار فوق،  شتاب جسم در کدام لحظه بیشتر است ؟ چرا ؟

جواب : شتاب در لحظه t1 بیشتر است،  زیرا شیب خط مماس در لحظه t1  بیشتر است .

نکته21:
درحرکت شتابدار متغییر معادله x-t از درجه 3 یا بالاتر است .
درحرکت شتابدار متغییر معادله V-t از درجه 2 یا بالاتر است
درحرکت شتابدار متغییر معادله a-t از درجه 1 یا بالاتر است.

حرکت شتابدار متغییر

V=5t2+3            حرکت شتابدار متغییر

a=2t                 حرکت شتابدار متغییر

خلاصه نمودار ها :

 

(1) جسم ساکن :

 

 

(2) جسم دارای حرکت مستقیم الخط یکنواخت

 

 

(3) جسم دارای حرکت شتابدار تند شونده

 

 

(4) جسم دارای حرکت کند شونده

 

 

 

کات22:

1. شیب مماس بر نمودار مکان - زمان در حرکت یکنواخت برابر است با سرعت متوسط یا سرعت لحظه ای .

2. شیب مماس بر نمودار مکان - زمان در حرکت شتابدار ثابت برابر با سرعت لحظه ای است .

3. شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان در حرکت یکنواخت برابر صفر است ، پس شتاب آن صفر است .

4. شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان در حرکت شتابدار ثابت برابر شتاب متوسط یا شتاب لحظه ای متحرک است .

5. شیب مماس بر نمودار سرعت - زمان در حرکت شتابدار متغییر برابر با شتاب لحظه ای است .

6 . حرکت یکنواخت  Ü  (متوسط) V = (لخظه ای)V

7. حرکت شتابدار ثابت  Ü (متوسط) a = (لخظه ای)a

مسئله1 :

در نمودار مقابل : الف ) : نوع حرکت        ب) : معادله حر کت         را بنویسید .

الف) حرکت  شتابدار ثابت تند شونده

ب)

   =(1/2)a*25+0*5+2=7 Þ  a=0.4 m/s2

   Þ   x=0.2t2+2

محاسبه  شتاب با استفاده از نمودار سرعت - زمان

در این بخش یاد میگیریم که چگونه می توان با استفاده از نمودار سرعت - زمان یک متحرک ، نوع حرکت و شتاب آنرا بدست آورد . برای این منظور به مثال زیر توجه نمایید .

مسئله3:

نمودار  تغییرات سرعت - زمان متحرکی مطابق شکل روبرو است . مطلوبست :

  1. نوع حرکت در AB و معادله مکان متحرک ، هرگاه در لحظه t=0 ، متحرک در 4+ متری مبدا باشد .

  2. نوع حرکت در BC و اندازه جابجایی متحرک در این مدت

  3. شتاب حرکت در ثانیه آخر

  4. جابجایی متحرک در طول مسیر با استفاده از نمودار.

 

 

 

جواب 1 :

    نوع حرکت از  به B شتابدار منظم تند شونده است ، زیرا سرعت روبه افزایش است و مقدار شتاب حرکت برابر است با :

 

معادله مکان متحرک عبارتست از :

=2.5t2 + 5t +4

جواب 2 :

نوع حرکت از تا C یکنواخت است . زیرا سرعت ثابت است و اندازه جابجایی از رابطه :XBC=vt محاسبه می شود .

X=15*(6-2)=60 m

جواب 3:

شتاب حرکت از C تا D برابر است با :

علامت منها ، حاکی از آنست که حرکت : شتابدار منظم کند شونده است .

جواب 4 :

سطح نمودار سرعت - زمان  معرف جابجایی متحرک است .

Sکل=SABHO+ SBCDH

تمرین 1-2کتاب درسی

نمودار سرعت زمان متحرکی در شکل مقابل نشان داده شده است . تعیین کنید در چه بازده زمانی شتاب در جهت محور x و در کدام بازده زمانی در خلاف جهت محور x است ؟

جواب :

در بازه های زمانی (0 تا t1 ) و (t3 تا t4 ) مقادیر DV و نیز a مثبت هستند . پس در این بازه زمانی بردار شتاب در جهت محور x است . در بازه های زمانی (t1 تا t2) و (t2 تا t3)  مقادیر DV  و نیز a  منفی هستند . پس در این بازه ها بر دار شتاب در خلاف جهت محور x می باشد .

 

 

 

 
فعالیت 1-1 کتاب درسی

در تمرین 1-2 در بازه زمانی 0 تا t1  سرعت متحرک مثبت است . پس ax نیز مثبت  است . زیرا شیب مماس بر نمودار در این بازه زمانی مثبت است و حرکت تند شونده است . حاصل ضرب axvx مثبت است . جاهای خالی را در گزاره های زیر طبق این نمونه پر کنید .
الف ) در بازه زمانی 
t1 تا t2 سرعت متحرک مثبت است . ax منفی است . حرکت کند شونده  است . حاصلضرب axvx منفی است .
ب) در بازه زمانی 
t2 تا t3 سرعت متحرک منفی است . ax منفی است . حرکت تند شونده  است . حاصلضرب axvx مثبت است .
پ) در زمانهای بزرگتر از 
t3 ، سرعت متحرک منفی است . ax مثبت است . حرکت کند شونده است . حاصلضرب axvx
 منفی است .

حرکت سقوطی:     

سقوط آزاد:

 هر گاه جسمی از یک ارتفاعی نسبت به سطح زمین سقوط کند اگر از مقاومت هوا صرفنظر شود ، با یک شتاب ثابت 9.8 متر بر مجذور ثانیه به سمت زمین کشیده می شود ؛ یعنی در هر یک ثانیه 9.8 متر بر مجذور ثانیه  به شتاب حرکت جسم افزوده می شود ؛ یعنی حرکت جسم در سقوط آزاد به سمت زمین شتابدار ثابت تند شونده است و تنها نیروی وارد بر جسم همان نیروی وزن جسم است.

در سقوط آزاد، شتاب همه اجسام یکسان فرض شده است یعنی (9.8 متر بر مجذور ثانیه  ) شتاب ثابت است ؛ البته فقط در سقوط آزاد . (از مقاومت هوا صرفنظر شده است).

نکته1: در سقوط آزاد حرکت را در امتداد محور قائم در نظر می گیریم.

معادلات سقوطی ‌آزاد:

حرکت پرتابی درراستای قائم چگونه است؟

ج:دراین حرکت جسمی باسرعت اولیه V0 درراستای قایم بطرف بالا پرتاب می شود.هنکام بالا رفتن حرکت کندشونده است واگرسرعت اولیه پرتاب ازیک حدمجازبیشترنباشد،جسم بعدازطی مسافت می ایستدودوباره به صورت سقوط آزاد پایین می آید.چون بعدازپرتاب تنها نیروی گرانش(نیروی وزن)به جسم اثرمی کند،پس هنگام رفت وبرگشت شتاب حرکت برابر g- خواهد بود(جهت مثبت محور yرابه طرف بالادرنظر می گیریم).برای به دست آوردن معادلات حرکت پرتابی درراستای قائم ازمعادلات حرکت مستقیم باشتاب ثابت نتیجه می شود:

به علامت g  توجه کنید:

  y0 ارتفاع اولیه جسم هنگام پرتاب ازسطح زمین است.(بدیهی است اگرجسم ازسطح زمین پرتاب شود، y0=0 خواهد بود).

 

باتوجه به اینکه درنقطه اوج سرعت جسم صفر می شودروابط زیررانیزمی توان نتیجه گرفت:

 زمان اوج :

  زمان رفت وبرگشت به نقطه پرتاب:

  ارتفاع اوج :

تذکر1:

ازمعادله سرعت لحظه ای معلوم می شوددرحرکت پرتابی قائم سرعت درهرنقطه ازمسیر هنگام رفت برابرسرعت جسم درآن نقطه هنگام برگشت است.بنابراین سرعت هنگام بازگشت به نقطه پرتاب برابرسرعت اولیه پرتاب ( V0)خواهدبود.

تذکر2:

زمان رفت برابر زمان برگشت به نقطه پرتاب است.

 نکته2: اگر جسم رها شود V0=0 می باشد ولی اگر پرتاب شود  می باشد.

یادآوری :

1-معادلات حرکت سقوط آزادبادرنظرگرفتن  V0=0  و g  به جای  a و محور y به جای محورx  وجهت مثبت آن روبه پایین به صورت زیر هستند:
 معادله حرکت
:y=1/2gt2   5t2
 معادله سرعت لحظه ای : 
 V=gt ≈ 10t
 سرعت هنگام برخوردبازمین
 : 
 سرعت متوسط درطول سقوط
 :   

  
y ارتفاعی است که جسم ازآن بدون سرعت اولیه سقوط می کند.

 


نمودارهای سقوط آزاد:

نمودار مکان ـ زمان

نمودار مکان ـ زمان یک سهمی است.

نمودار C:

جسم به سمت بالا پرتاپ می شود

نمودار B:

جسم به سمت پایین پرتاپ می شود

نمودار A:

 جسم به سمت پایین رها می شود 0=V0

در این نمودار فرض کرده ایم که جسم از  مبدا و با سرعت اولیه V0رو به بالا پرتاب می شود در این نمودار فرض کرده ایم که جسم از  مبدا و با سرعت اولیه V0رو به پایین رها می شود. در این نمودار فرض کرده ایم که جسم از ارتفاع y0 نسبت به مبدا رها می شود.

نمودار سرعت زمان

نمودار C:

 جسم به سمت بالا پرتاپ می شود

 V=-gt + V0

نمودار B:

جسم به سمت پایین پرتاپ می شود.

 V=-gt –V0

نمودار A:

 جسم به سمت پایین رها می شود.   V=-gt

 

نمودار شتاب زمان

در هر سه حالت C,B,A نمودارش یک خط می شود.

 

 

 

 

 

مثال:

جسمی ازروی یک بلندی درشرایط خلاءسقوط می کندوپس از3ثانیه به سطح زمین می رسد.ارتفاع بلندی وسرعت جسم راهنگام برخوردبازمین حساب کنید.

جواب:

 

 


 

فعالیت 1-2

از دوست خود بخواهید که مطابق شکل مقابل(شکل کتاب)خط کش بلندی را بین انگشتان شما نگه دارد و سپس رها کند . چگونه می توانید زمان واکنش خود را ( یعنی زمانی که طول می کشد تا پس از مشاهده رها شدن خط کش آن را بگیرید .) اندازه گیری کنید ؟

جواب :
قبل از رهاشدن خط کش عدد مقابل انگشت شست خود را بخوانید .( در این حالت خط کش با دست شما تماسی ندارد .) از دوست خود بخواهید که خط کش را رها کند . در مدتی که واکنش نشان می دهید تا خط کش را بگیرید ، خط کش مقداری سقوط می کند . بعد از گرفتن خط کش مجددا عدد  مقابل انگشت شست خود را بخوانید . از آنجا معلوم می شود که خط کش چقدر سقوط کرده است . حال می توانید از رابطه  با قرار دادن مقدار سقوط خط کش بجای 
y ، زمان t را که همان زمان سقوط خط کش یا واکنش دست ماست اندازه گیری کنیم .

تذکر : اگر معادله حرکت جسمی معلوم باشد

مثال:

ازبالای یک بلندی که تا سطح زمین 20mفاصله دارد،جسمی باسرعت 30  متر بر ثانیه درراستای قایم ودرشرایط خلاء به طرف بالا پرتاب می شود.

الف)جسم نسبت به نقطه پرتاب تاچه ارتفاعی بالا می رود؟

ب)زمانی که طول می کشدتا به نقطه اوج برسدچقدراست؟

پ)سرعت آن هنگام برخوردبازمین چقدراست؟

ت)پس ازچه زمانی به سطح زمین می رسد؟

جواب:

الف )

ب)

پ)  

ت)  

 

 

حرکت دردوبعدیاحرکت درصفحه

حرکت غالب اجسام به صورت دوبعدی یادرصفحه است.حرکت یک توپ فوتبال درفضا،حرکت یک سیاره به دور خورشید،حرکت اتومبیل درپیچ جاده و....ازاین نوع اند.پس بیایید پرتابه را تعریف کنیم :

هر جسمی که تحت اثر جاذبه سقوط می کند ، یک پرتابه است .

در شکل روبرو انواع مختلف پرتابه را ملاحظه می نمایید :types of projectiles diagram

 

 

 

 

 

فکر می کنید که اگر نیروی جاذبه وجود نداشت حرکت توپ پرتاب شده به چه صورت در می آمد ؟ بله حدس شما درست است . به شکل زیر توجه نمایید :firing a cannonball off a cliff

 

 

همانگونه که ملاحظه می نمایید ، توپ می توانست در نبود مقاومت هوا تا بینهایت بصورت مستقیم به حرکت خود ادامه دهد.

 

تحلیل حرکت پرتابیprojectile trajectory

دراین نوع حرکت ، در عین حال که مسیر می تواند مستقیم یا منحنی باشد ، جابجایی متحرک دردوبعد افقی وقایم(روی محورهای xوy   )در نظر گرفته می شود.زیرابررسی حرکت روی یک خط راست ساده تراست.ودرآن می توان به جای کمیتهای برداری مکان ،سرعت وشتاب،ازمقادیر این کمیت ها استفاده کرد. از این رو همواره حرکت جسم روی صفحه را روی محورهای مختصات تصویر و دو حرکت روی دوخط راست عمود برهم رابررسی می کنیم. اگر در هر لحظه معین t ، تصویر جسم روی محورهای مختصات(  x(t) ، y(t))معلوم باشد، می توان محل جسم را در این لحظه روی مسیرش معین کرد.بطوریکه:

 

 

جابجایی جسم نیزبرابرخواهدبودبا:

ازرابطه بالا می توان سرعت متوسط ولحظه ای،شتاب متوسط ولحظه ای جسم راروی هریک ازمحورهابدست آورد:

    معادله سرعت متوسط                                          

ازرابطه         نتیجه می شودبردارسرعت متوسط همواره درجهت بردارجابجایی است.زیرا هرگاه برداری رابه عددتقسیم کنیم   بردارحاصل بابردار اولیه هم جهت خواهد بود.برای سرعت لحظه ای نیزنتیجه می شود:

به بیان ریاضی سرعت لحظه ای مشتق بردارمکان جسم ،نسبت به زمان است.می توان سرعت لحظه ای جسم رابرحسب مؤلفه های آن دردوامتدادx وy نیز به دست آورد:

تذکر:توجه داشته باشید که بردار سرعت همواره بر مسیر حرکت مماس است .

باتوجه به شکل قبل وقتی t2  به سمت  t1  میل می کند،راستای بردارجابجایی      به سمت راستایی مماس برمنحنی مسیر ،درنقطه  A     میل خواهدکرد.بنابراین چون بردارسرعت متوسط همواره هم جهت باجابجایی است،درحدی کهDt  به سمت صفرمیل می کند،بردارسرعت لحظه ای برمسیر حرکت درنقطه A مماس خواهد شد.درنتیجه هنگامی که جسم روی یک مسیر خمیده حرکت می کند،جهت بردارسرعت آن که همواره برمسیر حرکت مماس است،درهرلحظه تغییر می کند.

 

 

برای شتاب نیز همانند سرعت خواهیم داشت: 

ازرابطه    نتیجه می شودبردارشتاب متوسط همواره درجهت بردارتغییر سرعت( DV )است ودرمسیر خمیده هیچگاه با بردارهای سرعت(V1    یا   V2 )هم جهت نیست.درحالت کلی بردار شتاب نه عمود برمسیر است ونه مماس برآن بلکه همیشه به سمت داخل منحنی مسیر است.برای شتاب لحظه ای نیزخواهیم داشت:

تحلیل حرکت پرتابیprojectile trajectory

دراین نوع حرکت ، در عین حال که مسیر می تواند مستقیم یا منحنی باشد ، جابجایی متحرک دردوبعد افقی وقایم(روی محورهای xوy   )در نظر گرفته می شود.زیرابررسی حرکت روی یک خط راست ساده تراست.ودرآن می توان به جای کمیتهای برداری مکان ،سرعت وشتاب،ازمقادیر این کمیت ها استفاده کرد. از این رو همواره حرکت جسم روی صفحه را روی محورهای مختصات تصویر و دو حرکت روی دوخط راست عمود برهم رابررسی می کنیم. اگر در هر لحظه معین t ، تصویر جسم روی محورهای مختصات(  x(t) ، y(t))معلوم باشد، می توان محل جسم را در این لحظه روی مسیرش معین کرد.بطوریکه:

 

 

جابجایی جسم نیزبرابرخواهدبودبا:

ازرابطه بالا می توان سرعت متوسط ولحظه ای،شتاب متوسط ولحظه ای جسم راروی هریک ازمحورهابدست آورد:

    معادله سرعت متوسط                                          

ازرابطه         نتیجه می شودبردارسرعت متوسط همواره درجهت بردارجابجایی است.زیرا هرگاه برداری رابه عددتقسیم کنیم   بردارحاصل بابردار اولیه هم جهت خواهد بود.برای سرعت لحظه ای نیزنتیجه می شود:

به بیان ریاضی سرعت لحظه ای مشتق بردارمکان جسم ،نسبت به زمان است.می توان سرعت لحظه ای جسم رابرحسب مؤلفه های آن دردوامتدادx وy نیز به دست آورد:

تذکر:توجه داشته باشید که بردار سرعت همواره بر مسیر حرکت مماس است .

باتوجه به شکل قبل وقتی t2  به سمت  t1  میل می کند،راستای بردارجابجایی      به سمت راستایی مماس برمنحنی مسیر ،درنقطه  A     میل خواهدکرد.بنابراین چون بردارسرعت متوسط همواره هم جهت باجابجایی است،درحدی کهDt  به سمت صفرمیل می کند،بردارسرعت لحظه ای برمسیر حرکت درنقطه A مماس خواهد شد.درنتیجه هنگامی که جسم روی یک مسیر خمیده حرکت می کند،جهت بردارسرعت آن که همواره برمسیر حرکت مماس است،درهرلحظه تغییر می کند.

 

 

برای شتاب نیز همانند سرعت خواهیم داشت: 

ازرابطه    نتیجه می شودبردارشتاب متوسط همواره درجهت بردارتغییر سرعت( DV )است ودرمسیر خمیده هیچگاه با بردارهای سرعت(V1    یا   V2 )هم جهت نیست.درحالت کلی بردار شتاب نه عمود برمسیر است ونه مماس برآن بلکه همیشه به سمت داخل منحنی مسیر است.برای شتاب لحظه ای نیزخواهیم داشت:

 

فعالیت1-3:
فرض کنید دریک مدت
 کوتاه،معادله های حرکت خرگوشی،برحسب یکاهای  SI  به صورت x=10t و y=-5t2  است.مسیر حرکت این خرگوش رابه کمک نقطه یابی دربازه زمانی 0 تا 5 ثانیه روی کاغذ شطرنجی رسم کنید.

جواب:باتوجه به جدول زیرخواهیم داشت:

 

3 2 1 0 t
30 20 10 0 x
45- 20- 5- 0 y

 

 

فعالیت1-4:
معادله های حرکت در 
SI برای اتومبیل A درصفحه افقی به صورت xA= 3t2 و yA=8 وبرای اتومبیلB درهمان صفحه به صورتxB=6t  و  yB=4t داده شده است.از طریق نقطه یابی تحقیق کنیدکه آیااین دو اتومبیل بهم برخورد می کنند یانه؟چه شرطی باید برقرارباشدتااینکه بین آنهابرخورد رخ ندهد؟

جواب:اگردواتومبیل بهم برخورد کننددرمحل برخورد دارای x هاوy های برابرخواهند بود.برای تحقیق این نکته مختصه قائم اتومبیلB راکه ثابت است ( yA=8 )درمعادله متناظراتومبیل B قرار می دهیم:

yB=4t  ==>8=4t   ==>t=2s

حال بایدببینیم درزمانt=2s آیادواتومبیل دارای xهای برابرهستند یاخیر؟درصورت برابری اتومبیل هابهم برخورد می کنند و اگرنه برخوردی نخواهدبود.

XA=3t=3(2)2=12 m
XB=6t=6(2)=12 m

پس اتومبیل هابهم برخوردخواهندکرد.

روش دیگربرای تحقیق این مسئله رسم نمودارهای مسیر دواتومبیل است.اگر دو نمودار یکدیگر راقطع کننددرمحل تقاطع دواتومبیل بهم برخورد می کنند.اما اگرنمودارهانقطه مشترکی نداشته باشندبرخوردی نخواهد بود.باتوجه به آنچه گفته شد،شرط این که دواتومبیل بهم برخورد نکنندآنست که دواتومبیل به ازای تمام مقادیرt ، xها و y های یکسانی نداشته باشند.

مثال1:

معادله های حرکت جسمی دردوبعدبارابطه های زیرداده شده است:

x=2t        ,        y=-t2 + 4t                  (SI)

الف)بردار مکان جسم رادرلحظه های t1=1s و  t2=2s  به دست آورید.

ب)سرعت متوسط آن رادربازه زمانی 1تا2ثانیه تعیین وبزرگی آن راحساب کنید.

جواب:الف)در   t1=1s   داریم:

x1=2m   ,     y1=+3 m

به همین ترتیب در   t2=2s :

x2=4m   ,     y2=4 m

ب)


                   
          

 

مرین1-3 :
سرعت متوسط خرگوش رادرفعالیت 1-3 در بازه زمانی 0تا2ثانیه بدست آورید:

 

مثال2:

 

اتومبیلی دریک صفحه افقی حرکت می کند.معادله های حرکت آن در   SI  به صورت زیر است:

 

x=6t+5       ,      y=4t2

 

بزرگی سرعت اتومبیل رادر  t=1s  به دست آورید.

 

جواب :

 

 

تمرین1-4:
معادله مسیر رابرای مثال قبل بنویسید وآن رارسم کنید.بردارسرعت متحرک رادر 
t=1s  روی مسیر نمایش دهید.

جواب :

 

9 4 1 0 y
14 11 8 5+ x

 

 

 

 

 

فعالیت 1-5:

دوحرکت شتابدار مثال بزنیدکه در آنها ،بزرگی سرعت تغییر نکند.

جواب:حرکت بر مسیر دایره ای وحرکت برمسیر سهمی .درهردوحرکت در عین حال که بزرگی سرعت می تواندثابت بماند اما راستاوسوی آن تغییرکرده وحرکت شتابدار خواهد بود.

 

 

 

فعالیت1-6:

نشان دهیددرحرکت باسرعت ثابت روی مسیر خمیده ،وقتی   Dt  به سمت صفر میل می کند،    بر     عموداست.

جواب:

مطابق شکل های زیرملاحظه وقتی  Dt  به سمت صفرمیل می کند،زاویه هایa وb نیز به سمت صفر میل می کنندودرنهایت برروی نیم خط عمود برراستای     می ا

         


مثال 3:

معادله حرکت دوبعدی جسمی درSI به صورت زیر است:

x=20t2      ,     y=-5t3

بردارهای سرعت وشتاب آنرادرt=1s به دست آورید.آیااین دوبردار هم جهت اند؟

جواب:

برای تعیین بردارسرعت ،ابتدامؤلفه های   vx ،   vy  رادر t=1s به دست می آوریم:

بنابراین بردار سرعت لحظه ای در t=1s چنین خواهد بود:                    

برای تعیین بردارشتاب نیز همچون بردارسرعت ابتدامؤلفه های  ax  و  ay  رابه دست می آوریم:

بردارهای    و    درt=1s درشکل مقابل نشان داده شده اند.نتیجه می شوداین دوبردارباهم موازی یاهم جهت نیستند.

 

 

 

 

 

حرکت باشتاب ثابت درصفحه

وقتی حرکت دریک صفحه با شتاب ثابت باشد،بزرگی وجهت بردارشتاب ثابت می ماند. از این رو مؤلفه های      درطول حرکت تغییری نمی کنند و مقدار ثابتی دارند.طبق قانون دوم نیوتن ،شتاب هنگامی ثابت است که نیروی وارد برجسم ثابت باشد. دراین نوع حرکت برای سادگی، محورهای  و y را طوری انتخاب می کنیم که راستای شتاب حرکت باراستای یکی ازمحورهای مختصات منطبق باشند.بنابراین مؤلفه شتاب دریک راستا صفر و در راستای دیگر ثابت است . مثلا اگر در یک حرکت با شتاب ثابت،محور y  باشتاب هم راستا باشد.داریم:

ساده ترین نوع حرکت باشتاب ثابت درصفحه،حرکت پرتابی است.

فرض کنید جسم کوچکی راچنان پرتاب کنیم که زاویه سرعت اولیه اش با امتداد قائم ،مخالف صفر باشد.این جسم راپرتابه می نامیم.اگر از مقاومت هوا صرفنظر کنیم.تنها نیروی وارد بر پرتابه ، نیروی وزن آن(   )است.شتاب حاصل ازاین نیرو،g است که درنزدیکی سطح زمین بزرگی آن ثابت وبه طرف مرکز زمین است.

فعالیت1-7:

نشان دهید که پرتابه درصفحه قائمی حرکت می کند ، که ازبردارسرعت اولیه پرتاب جسم وبردارشتاب پدید می آید.

جواب:

چون بردارسرعت همواره برمسیر حرکت پرتابه مماس است پس بردار    برصفحه مسیرواقع است به این علت بردارتغییرسرعت یعنی DV  نیز برصفحه مسیرقرارمی گیرد.ازطرفی بردارشتاب نیز درراستای  DV  قراردارد.پس صفحه مسیربرصفحه ای منطبق است که ازدوبردار    و    پدید می آید.

 

 


بررسی حرکت پرتابی ومعادلات آن:

برای بررسی این حرکت محور ox رادر راستای افق ومحور ox رادر راستای g درنظر می گیریم.درنتیجه حرکت پرتابی رامیتوان به صورت ترکیب دو حرکت  , یکی در راستای افق ودیگری درراستای قائم درنظرگرفت.راحت تراست که محل پرتاب جسم رانیز مبدا مختصات ( x0=0  و y0=0 )وجهت مثبت محور را به طرف بالا انتخاب کنیم. شکل زیرمسیر حرکت پرتابه راروی صفحه مختصاتxoy ,همراه بابردارشتاب   ونیزبردارسرعت اولیه جسم    که باافق زاویه a می سازد. نشان می دهد.دراین شکل مولفه های بردارشتاب    بارابطه های زیرداده می شوند:

ax= 0    , ay=-g

مولفه های سرعت اولیه     نیز برابرندبا:

V0x=v0 cos a         ,        V0y=v0 sin a

  ax=0  است یعنی حرکت درراستای افقیx باسرعت ثابت Vx=v0 cos a   انجام می شود.بنابراین باتوجه به معادلات حرکت باشتاب ثابت خواهیم داشت:

x=(v0 cos a)t

Vx=v0 cos a   = ثابت

شتاب درراستای قائم نیز برابرg - است نتیجه می شود:

باحذفt بین معادلات حرکتx وyمعادله مسیر حرکت نیز به دست می أید:


                       

رابطه بالانشان می دهدکه مسیر حرکت پرتابی درشرائط خلا’سهمی است.(معادله فوق رابامعادله سهمی مقایسه کنید که درآ ن ثابت        وB=tan a ثابت هستند).درحرکت پرتابی فاصله افقی ای راکه پرتابه طی می کندتا دوباره به ارتفاع اولیه پرتاب برگردد ,  برد پرتابه می نامند و آنرابا نماد R نشان می دهند.مختصات نقطه بازگشت به ارتفاع اولیه باتوجه به این که ( X=R و Y=0  )است,بااستفاده ازمعادله مسیربرابر خواهدبودبا:

نقطه اوج نیزدرحرکت پرتابی,بالاترین نقطه ایست که پرتابه به أن می رسد.سرعت درراستای محور   درنقطه اوج صفر است زیرابردارسرعت که همواره برمسیرمماس است دراین نقطه افقی است ومولفه ای درراستای قائم ندارد.خواهیم داشت:

 زمان رسیدن به تقطه اوج

باجایگذاری این زمان درمعادله y ,ارتفاع نقطه اوج نیزبه دست می أید:

تذکر:

اگرمعادلات حرکت پرتابی مایل رابامعادلات حرکت پرتابی درراستای قائم مقایسه کنید شباهت کامل أنها راملاحظه خواهیدکردبااین تفاوت که درحرکت پرتابی مایل به مقدار  V0 ضریب   sina  نیزاضافه می شود.  

تمرین1-5:

به ازای چه زاویه پرتابی(a )بردپرتابه بیشینه است؟

جواب:

دررابطه بردپرتابه یعنی    وقتی بیشینه است که sin2a=1  باشد . ازآنجانتیجه می شود:

یعنی به ازای زاویه پرتاب  a=45 بردپرتابه بیشینه است.

 

فعالیت1-8:

آزمایشی پیشنهاد کنیدکه به کمک آن بتوان سرعت آب رادرحین خارج شدن ازشلینگ اندازه گرفت.

جواب:

قبل ازبازکردن آب،شلینگ رادرمحلی طوری ثابت می بندیم که راستای آن باسطح افق زاویه معینی مثل   رابسازد.این زاویه برابرزاویه پرتاب آب ازشلینگ خواهد بود.سپس آب راباز می کنیم تا ازشلینگ فوران کند.دراین حال بردآب رااندازه می گیریم تا مقدارR به دست آید.سپس از رابطه     مقدار v0 رامحاسبه می کنیم.


تذکرات مهم:

1-درتمامی مواردحرکت پرتابی ازمقاومت هواوغیره صرف نظر می شود.

2-درحرکت پرتابی بردارتغییر سرعت ( DV )همواره به طرف پایین یعنی درراستای بردار g  وعمودبرسطح زمین است.اما به دلیل تغییرجهت مداوم بردارسرعت لحظه ای زاویه میان بردارسرعت لحظه ای  وبردارشتاب( g )پابت نیست.

3-سرعت لحظه ای پرتابه درهرلحظه ازترکیب بردارهای سرعت دردوراستایx وy به دست می آید:

 

4-درحرکت پرتابی مایل همانند پرتاب قائم یاسقوط آزادمی توان نوشت:

 

5-زاویه ای که بردارسرعت لحظه ایباسطح افق می سازدبرابر است با:

 

6-هرگاه پرتاب بالای سطح افق باشد  و اگرپرتاب افقی باشد  و اگرپرتاب زیر سطح افق باشد  خواهدبود.

7-درحرکت پرتاب افقی (به ازای   )زمان برد برابر زمانی است که پرتابه ازهمان ارتفاع به سطح زمین سقوط می کند.اما هنگام رسیدن به سطح زمین سرعت برای هردو حالت یکسان نیست به طوری که سرعت پرتابه بیشتر از هنگام سقوط آزاد آن خواهد بود.

8-برای پرتاب زیرافق ( )، y درمعادلات مربوطه منفی خواهدبود.

9-هرگاه بخواهیم باپرتابه ای هدفی رامورد اصابت قراردهیم ،بایدمختصات هدف درمعادله مسیر حرکت پرتابه صدق نماید.

10-هرگاه هدف متحرکی به صورت آرادازارتفاع H سقوط نماید.باتنظیم زاویه پرتاب به ارتفاع H ،پزتابه به هدف اصابت خواهد کرد.

 

 

 

 

 

 

11-درصورتی که پرتابه ازارتفاع  h  ازسطح زمین به طور مایل پرتاب شودمعادله مسیر آن به صورت زیرخواهدبود:

 

12-اگردررابطه  به جای x مقدار R  را قرار دهیم ،زمان رسیدن پرتابی به سطح زمین یعنی کل زمان حرکت آن درطول پرتاب به دست می آید:(بافرض h=0 )

 

13-هرگاه پرتابه ای ازپایین یک سطح شیب داربازاویه شیب q تحت زاویه a به طرف بالای سطح پرتاب شود ،زمان برد وطول برد از روابط زیرمحاسبه می شود:

زمان برد

طول برد

 

       

14-دربند قبل اگرپرتابه ازبالای سطح به طرف پایین آن باشد،خواهیم داشت:

 

زمان برد

طول برد

 

ملاحظه می شودزمان بردبرای هردوحالت یکسان است اما طول بردهابرابرنیستند.

 


مثال1:

یک بازیکن فوتبال توپی راتحت زاویه 37درجه نسبت به افق باسرعت اولیه  10 m/s  شوت میکند.بافرض این که توپ درصفحه xoy حرکت کندومقاومت هواناچیز باشد:

الف)زمان رسیدن توپ به نقطه اوج رابه دست آورید.

ب)پس از چه زمانی توپ به زمین برمیگردد.(sin 37 = 0.6 )

جواب:

الف)درنقطه اوج مسیر Vy=0 است نتیجه می شود:

ب)دربازگشت به زمین y=0 است.خواهیم داشت:

 

 

که در آن t=0 مربوط به لحظه پرتاب توپ و t=1.2 s مربوط به لحظه برخوردتوپ به (زمان کل حرکت )است.

تمرین-6:

ارتفاع نقطه اوج ونیز برد توپ رادرمثال قبل محاسبه کنید.

 

 

 

مثال2:

ازبالای یک بلندی به ارتفاع 50m ،جسمی باسرعت افقی  20 m/s  پرتاب می شود:

الف)چه مدت طول می کشدتاتوپ به زمین برسد؟

ب)محل برخورد توپ بازمین تاپای برج چندمترفاصله دارد؟

پ)درهنگام برخورد توپ به زمین سرعت آن چقدراست؟

 

جواب:

الف)درنقطه فرود y=-50 m    است .نتیجه می شود:

 

 

ب)

 

پ)

 

 

مثال 3:

توپی اززمین به هواپرتاب شده است .درارتفاع 0.45مترازسطح زمین مولفه افقی سرعت آن  3 m/s  ومولفه قائم آن 4 m/s است:

الف)این توپ تاچه ارتفاعی بالا می رود؟

ب)برداین توپ چقدراست؟

پ)سرعت توپ درلحظه برخورد بازمین چقدر است وچه زاویه ای باافق می سازد؟

جواب:

الف )

 

 

 

 

ب)

 

 

 

پ )

 

 

سرعت هنگام برخورد باسطح زمین.

همین نتیجه رامی توانستیم با استدلال نیز به دست آوریم زیرا درشرایط خلاء سرعت درنقطه فرود برابرسرعت اولیه پرتاب است.

 

 


مبحث تکمیلی  حرکت

الف)-درحرکت یکنواخت:

نکاتی درمورد محاسبه سرعت متوسط متحرکی که در مسیر مستقیم حرکت می کند،اما حرکت یکنواخت آن درحالتهای مختلف صورت می گیرد.بطوریکه:

1-اگر متحرکی برروی خط راست درزمانهای t1 و t2  و  ....به ترتیب مسافتهای  x1 و x2  و... راطی کند،خواهیم داشت:

 

مثال:متحرکی که حرکت مستقیم دارد،درثانیه اول 4مترودرثانیه دوم 6مترو درثانیه سوم 8متر راطی کرده است.سرعت متوسط آنرادرمدت حرکت حساب کنید.

جواب:

 

2-اگرمتحرکی درزمانهای t1 و t2  و  ....به ترتیب باسرعتهای v1 و v2 و....حرکت کرده باشد،خواهیم داشت:

 

مثال:متحرکی 30ثانیه باسرعت    20m/s و 10 ثانیه باسرعت 40 m/s طی کرده کند.سرعت متوسط رادراین مسیر به دست آورید.

جواب:

3-هرگاه متحرکی مسافتی رادرn مرحله بازمانهای مساوی وباسرعت های ثابت مختلف طی کند،سرعت متوسط آن برابر است با:

 

مثال:متحرکی درزمانهای مساوی باسرعتهای 21 و 5 و 10متر بر ثانیه حرکت می کند.سرعت متوسط آن درکل مسیر چقدر است؟

 

4-هرگاه متحرکی باسرعتهای  v1 و v2 و....مسافتهای  x1 و x2  و... راطی کند داریم:

جواب:

 


مثال:

متحرکی برمسیرمستقیم باسرعتهای ثابت 2 و 5 و متر بر ثانیه به ترتیب مسافتهای  10mو25m و45m راطی می کند . سرعت متوسط آنرا دراین مدت حساب کنید.

جواب:

 

5-درمورد قبل اگر x1 =x2= ..... باشد،نتیجه می شود:

 


مثال:

متحرکی مسیر مستقیمی رادرسه مرحله بامسافتهای یکسان بطوریکنواخت باسرعتهای3و7و21متربرثانیه طی می کند.سرعت متوسط آنرابرای کل مسیر حساب کنید.

جواب:

 

6-هرگاه متحرکی باسرعت های ثابت ومتفاوت مسیر خودرادردومرحله بانسبت مسافتهای معین طی کند،سرعت متوسط آن برای کل مسیر برابراست با:

 

n1  نسبت مسافت اول و  n2 نسبت مسافت دوم است.


مثال:

متحرکی 5/2مسیر مستقیمی راباسرعت ثابت 10m/s وبقیه مسیر راباسرعت ثابت 18m/s می پیماید.سرعت متوسط درکل مسیر چقدر است؟

 

 

 

7-اگر متحرکی باسرعتهای ثابت V1 و  V مسیرخود را در دو مرحله بانسبت زمانهای معین m1 و  m2 طی کند،سرعت متوسط آن برای کل مسیر برابراست با:

 


مثال:

متحرکی 7/3مدت حرکت خودرادریک مسیر مستقیم باسرعت ثابت 14m/s وبقیه مدت حرکت راباسرعت ثابت   21m/s طی می کند.سرعت متوسط آنرادرکل مسیر حساب کنید.

جواب:

 


8-اگرمتحرکی برروی صفحه،ازنقطه( y1 و x1 )درمدت t  به نقطه (x2 , y2)   برود،سرعت متوسط آن برابر است با:

 


مثال:

متحرکی برروی یک خط راست ازنقطه ( 8m و2m)  درمدت 10ثانیه به نقطه (  4m و12m)  می رود.سرعت متوسط آن دراین مدت چقدر است؟

جواب:

 

ب-درحرکت مستقیم باشتاب ثابت:

1-مسافتی که متحرک درثانیهn ام حرکت می پیماید برابر است با:

 

زیرااگرمسافتهای طی شده پس tو  t-1 ثانیه راحساب کرده وازهم کم کنیم نتیجه می شود:

 

 

 

 

مثال:

متحرکی درمبداء زمان باسرعت 4m/s وبا شتاب 3 m/s2 ازمبداء مکان برروی خط راست عبورمی کند.مسافت طی شده رادرثانیه پنجم حرکت حساب کنید.

جواب:

 


2-مطابق مورد قبل متحرکی که t ثانیه باشتاب ثابت a حرکت می کند.مسافت طی شده در n ثانیه آخر حرکت آن برابر است با:

 

مثال:

متحرکی ازحال سکون باشتاب ثابت 2 m/s2   به حرکت درمی آیدوبه مدت20ثانیه این شتاب راحفظ می کند.مسافت طی شده در  5 ثانیه آخرحرکت راحساب کنید.

جواب:

 


3-مشابه بند (2)مسافت طی شده درt ثانیهn ام حرکت برابراست با:

زیرا:

 

 

 

  Xnt مسافت طی شده در  nt  ثانیه و   X(n-1)t   مسافت طی شده در  (n-1)t   ثانیه است.

مثال:

متحرکی حرکت مستقیم باشتاب ثابت  2m/s2  دارد،اگرسرعت اولیه آن  5m/s باشدمسافت طی شده در3ثانیه دهم راحساب کنید.

جواب:

 


4-اگر متحرکی ازحال سکون باشتاب ثابت به حرکت درآمده باشد،مسافت طی شده آن درثانیه t ام حرکت برابر است با:

 

X1 مسافت طی شده درثانیه اول حرکت است.

مثال:

متحرکی ازحال سکون وباشتاب ثابت برروی خط راست به حرکت در می آید.اگر مسافت طی شده درثانیه اول حرکت10مترباشد،مسافت طی شده درثانیه پنجم حرکت چقدراست؟

جواب:


5-مسافت طی شده دربازه زمانی  Dt=t2-t1    برابراست با:

 

مثال:

متحرکی باشتاب ثابت  3 m/s2  به طور مستقیم حرکت می کند.اگرسرعت اولیه آن 1m/sدرمبداء زمان باشد،جابجایی متحرک رابین دو زمان 2ثانیه و7ثانیه حساب کنید.

جواب:

 

 


6-سرعت متوسط دربازه زمانی   Dt=t2-t1   برابراست با:

 

مثال:

متحرکی با سرعت اولیه2m/s باشتاب ثابت 1 m/s2  برخط راست حرکت می کند.سرعت متوسط آنرا بین دولحظه  t1=4 s و t2=12 s   حساب کنید.

جواب:

 


7-درحرکت مستقیم باشتاب ثابت سرعتهای متوالی ونیزمسافتهای متوالی تشکیل یک تصاعدعددی رامی دهندوقدرنسبت این تصاعدبرابرشتاب است.به عبارت دیگرتفاضل دوسرعت متوالی یادوجابجایی متوالی برابرشتاب می باشد:

 

اثبات:بادرنظرگرفتن   (ازبندیک)وبافرض V0=0  برای مسافتهای طی شده درچند جابجایی متوالی نتیجه می شود:

 

  

 

......................................

......................................

......................................

......................................

......................................

ونیز:

 

مثال1:

متحرکی درمسیر مستقیم باشتاب ثابت حرکت می کند.اگر در زمانهای 5و 6ثانیه به ترتیب مسافتهای  20 و 22 متر را طی کرده باشد،شتاب حرکت آنراتعیین کنید.

جواب:

مثال2:

متحرکی درمسیرمستقیم باشتاب ثابت حرکت می کند.اگردرزمانهای 3و4ثانیه به ترتیب دارای سرعتهای 7و9متربرثانیه باشد،شتاب حرکت آنراتعیین کنید .

جواب:


8-مطابق بند(6)مسافتهای طی شده توسط متحرک درزمانهای مساوی اما غیرمتوالی (t )بایکدیگرتشکیل تصاعدی عددی رامی دهند و قدرنسبت این تصاعدبرابر  at2  است.

مثال:

متحرکی که برروی یک مسیر مستقیم وباشتاب ثابت حرکت می کنددر 5 ثانیه اول حرکت 20 مترودر 5 ثانیه دهم حرکت 145 متر را طی می کند.شتاب متحرک راحساب کنید.

چواب:

 


9-مسافت طی شده دریک ثانیه معین برابرنصف مسافتهای طی شده درثانیه های قبل وبعدازآن است:

مثال:

متحرکی برروی یک خط راست وباشتاب ثابت حرکت می کند.اگردرثانیه های  5 و 7 ثانیه به ترتیب مسافتهای 2و 6مترراطی کرده باشد،مسافت طی شده درثانیه 6 راتعیین کنید.

جواب:


10-اگرمعادله حرکت متحرکی که حرکت مستقیم باشتاب ثابت دارد،مشخص باشد. درآن ضریب t2  برابرنصف شتاب وضریب t برابرسرعت اولیه حرکت می باشد (معادله کلیرادرنظر بگیرید).اگرعلامت این دوضریب یکی باشد(هردومثبت یاهردومنفی)دراین صورت حرکت تندشونده بوده وتمام مسیر دریک طرف مبداء مکان خواهد بود.اما اگراین دوضریب هم علامت نباشند ،متحرک ابتدا دارای حرکت کند شونده بوده ومی ایستدودرصورت ادامه حرکت درهمان راستا وبا همان شتاب درخلاف جهت قبل برمی گردد.

مثال:

معادله حرکت متحرکی درSI به صورت است.دراین صورت:

الف)حرکت کند شونده ودرجهتx+ است.

ب)حرکت تند شونده ودرجهتx+ است.

ج)حرکت کند شونده ودرجهتx- است.

د)حرکت تندشونده ودرجهتx- است.

جواب:گزینه د صحیح است.زیراضرایب t2 و t هم علامت هستند پس حرکت تندشونده است وچون علامت شتاب منفی است( )پس حرکت درجهت x- می باشد.


ج-درحرکت سقوط آزاد:

1-مسافت طی شده درثانیه nام سقوط برابراست با:

 

مثال:

جسمی ازارتفاع 75متری زمین سقوط می کند.مسافت طی شده درثانیه سوم سقوط چقدراست؟

جواب:

یعنی درطول ثانیه سوم سقوط 25مترپایین تررفته است(علامت منفی به خاطر آن است  که مبداء مکان منطبق برمحل سقوط درنظر گرفته شده وحرکت درجهت منفی محور    صورت می گیرد).


2-مسافت طی شده درt ثانیهn ام سقوط برابراست با:

 

مثال:

جسمی ازارتفاعh ازسطح زمین سقوط می کند.مسافت طی شده در2 ثانیه سوم سقوط چقدر است؟

چواب:


3-درصورتی که جسمی به مدتt  ثانیه سقوط آزاد نماید،مسافت طی شده درn ثانیه آخرسقوط برابراست با:

مثال :

جسمی درشرائط خلاء ازارتفاعh رها می شود و10ثانیه بعد به زمین می رسد.این جسم در2ثانیه آخرسقوطش چه مسافتی رامی پیماید؟

جواب:


4-هنگام سقوط آزاد،سرعت بازمان متناسب است.نتیجه می شود:

مثال:

جسمی ازارتفاعh ازسطح زمین رها می شود.اگرسرعت جسم هنگام برخورد بازمین 7/9سرعت جسم در2ثانیه قبل ازبرخورد باشد،زمان سقوط راحساب کنید.

جواب:

 


5-اگرجسمی سقوط آزاد کرده و t  ثانیه بعد به زمین برخوردنماید،زمانی که جسم a/n ابتدای مسیر راطی می کندبرابراست با:

مثال:

جسمی ازارتفاعh سقوط آزادکرده وپس از6ثانیه بازمین برخورد می کند .این جسم 4/1ابتدای مسیرش رادرچندثانیه طی می کند؟

 

یعنی جسم  4/1مسیرخودرادر 3 ثانیه سقوط کرده است وچون کل زمان سقوط 6ثانیه است، پس بقیه مسیر یعنی 4/3 آنرا نیز در3 ثانیه طی کرده است.نتیجه مهم آنکه :

6-هنگام سقوط آزاد،زمان سقوط 4/1کل ابتدای مسیر برابربازمان سقوط بقیه مسیراست.

7-هنگام سقوط آزاد ، اگرسرعت برخورد با زمینV باشد،سرعت آن پس ازآنکه a/nابتدای مسیرش راطی می کندبرابراست با:

 

اثبات:

 

مثال:

جسمی به طور آزادسقوط می کند.اگرسرعت آن در 9/2 راهش  20m/s باشد،سرعت آن هنگام برخورد بازمین چقدر خواهد بود؟

جواب:

 


8-اگردوجسم ازیک ارتفاع بافاصله زمانی   Dt   پشت سرهم سقوط نمایند،اولاحرکت جسم هانسبت هم یکنواخت است وثانیاسرعت نسبی آنها برابرخواهد بودبا:

 

د-درحرکت پرتابی قائم:

1-سرعت درa/n ارتفاع اوج برابراست با:

مثال:

تیری رادرشرائط خلاء ودرراستای قائم باسرعت اولیه  40m/s به طرف بالا پرتاب می کنیم.سرعت تیر در9/5ارتفاع اوج چقدر است؟

جواب :

 

2-زمان رسیدن به  a/nارتفاع اوج برابراست با:

مثال:

گلوله ای باسرعت اولیه 200m/s درراستای قائم به طرف بالا شلیک می شود.درچه لحظه هایی ازنقطه 4/3ارتفاع اوج می گذرد؟

چواب:

هنگام رفت


3-مسافت طی شده درثانیه t ام پرتاب برابراست با:

مثال:

جسمی باسرعت اولیه 50m/s درراستای قائم ودرشرائط خلاء به طرف بالا پرتاب می شود.مسافت طی شده درثانیه دوم پرتاب چقدراست؟

جواب:

 


4-مسافت طی شده درn ثانیه آخرپرتاب برابراست با:

مثال:

جسمی باسرعت اولیه30m/s  درراستای قائم ودرشرائط خلاء به طرف بالا پرتاب می شودو3ثانیه بعد به ارتفاع اوج خودمی رسد.مسافت طی شده در1.2 ثانیه آخر اوج چقدراست؟

 

 


5-مسافت طی شده درt ثانیه nام پرتاب برابر است با:

 


6-ارتفاع نقطه ای که سرعت جسم پرتابی  a/n برابر سرعت اولیه پرتاب می شود برابراست با:

  H  ارتفاع اوج است.

مثال 1:جسمی درراستای قائم وباسرعت اولیه 10m/sپرتاب می شود درچه ارتفاعی سرعت آن5/2سرعت اولیه پرتاب خواهد شد؟

چواب:

 

مثال2:جسمی درراستای قائم ودرشرائط خلاء پرتاب می شودوتاارتفاع 20متربالا می رود.درچه ارتفاعی سرعت آن      سرعت اولیه پرتاب می شود؟

جواب:

نتیجه مهم:

درحرکت پرتابی قائم،همیشه سرعت درنصف مسیربرابر      است.


7-اگر t1 و  t2 زمانهایی باشندکه جسم پرتابی ازیک نقطه به فاصلهy ازمبداء پرتاب می گذرد(  t1  هنگام بالارفتن و t2  هنگام پایین امدن )دراین صورت  t1  و  t2 ریشه های معادله حرکت پرتابی خواهندبود:

 

ازحل معادله درجه دوم فوق حاصل می شود:

 

حاصل جمع ریشه ها:

 

حاصل ضرب ریشه ها:

 

 

تفاضل ریشه ها:

 

مثال1:

جسمی باسرعت اولیه 70m/s درراستای قائم پرتاب می شود.این جسم هنگام رفت درزمان  t1=2.5 s   ازیک نقطه به ارتفاع  h  ازمبداء پرتاب می گذردتعیین کنید درچه زمانی هنگام برگشت دوباره ازنقطه فوق می گذرد وارتفاعh چقدر است:

 

 

مثال2:

گلوله ای راباسرعت اولیه 15m/s درراستای قائم به طرف بالا پرتاب می کنیم.چندلحظه بعدگلوله دیگری ازهمان نقطه پرتاب می شود ودرارتفاع 10متری نقطه پرتاب به گلوله اول برخوردمی کند.زمان پرتاب گلوله دوم راحساب کنید.

 

 

 

یعنی گلوله دوم یک ثانیه بعدازگلوله اول پرتاب شده است.


8-اگردوجسم ازیک ارتفاع وبه طورهم زمان باسرعتهای اولیه  V01  و   V02   درراستای قائم به طرف بالایا پایین پرتاب شوند.حرکت آنها نسبت به هم یکنواخت بوده وفاصله شان درهرلحظه برابراست با:

مثال:

دوجسم ازیک نقطه باسرعتهای اولیه45m/s و30m/s درراستای قائم وبه طورهم زمان دریک جهت پرتاب می شوند.فاصله آنها بعداز 2.5 ثانیه چقدراست؟

جواب:


9-درمورد قبل اگرپرتاب دوجسم دردوجهت مخالف هم صورت بگیرد،(یکی به طرف بالا ودیگری به طرف پایین )،دراین صورت همچنان حرکت آنها نسبت به هم یکنواخت خواهد بود اما فاصله شان درهرلحظه ازرابطه زیربدست می آید:

مثال:

دوجسم ازیک نقطه و بطورهمزمان باسرعتهای اولیه  25m/s و10m/s درراستای قائم ودردوجهت مخالف پرتاب می شوند.تعیین کنیدپس ازجند ثانیه فاصله آنها ازهم 70مترخواهدشد؟

جواب:

10-اگردوجسم اولی ازسطح زمین وباسرعت اولیه V01   ودومی ازارتفاع y باسرعت اولیه   V02  درراستای قائم وبطورهمزمان به طرف هم پرتاب می شوند،زمانی که دوجسم به هم می رسندبرابراست با:

مثال:

دوگلوله یکی ازسطح زمین وباسرعت اولیه50m/s ودیگری ازارتفاع 80m باسرعت اولیه 20m/s درراستای قائم وبه طور هم زمان به طرف هم پرتاب می شوند.تعیین کنید گلوله هادرچه زمانی به همبرخورد خواهندکرد؟

جواب:

پاسخ تمرین های فصل اول

1-معادله حرکت جسمی درSIبه صورت      است.مطلوب است:

الف)بزرگی سرعت متوسط جسم دربازه زمانی 1تا2ثانیه

ب)بزرگی سرعت متحرک درلحظه t=4s

پ)بزرگی شتاب متوسط متحرک دربازه زمانی 2تا3ثانیه

ت)بزرکی شتاب متحرک درلحظه  t=4s

جواب:

 الف )

 

 

ب)

 

 

پ)

 

 

 ت)

 

 



دسته بندی :